Subiectul al III-lea, 6., toate variantele

(I₂ − A(2))·X = A(3) și, cum (I₂ − A(2))⁻¹ = (1/2)A(2), obținem X = (1/2)A(2)·A(3) - 3p X = [[−2, 1], [1/2, −2]] - 2p

(a+b)B(a,b)+bB(a+b,−b) = ⎛(a+b)²  (a+b)²⎞
                                ⎝   ab     (a+b)²⎠,

pentru orice numere reale a și b - 2p

⎛(a+b)²  (a+b)²⎞   ⎛25  25⎞
⎝   ab     (a+b)²⎠ = ⎝ 6  25⎠,

de unde obținem a+b=5 și ab=6 sau a+b=−5 și ab=6 și, cum a<b, perechile sunt (2,3) și (−3,−2) - 3p

6. 2M(1) + nI₂ = [[4 + n, 6], [2, 4 + n]], N = n² + 8n + 4, pentru orice număr natural n - 3p Pentru n = 2k, unde k este număr natural, obținem N = 4(k² + 4k + 1), deci N este multiplu de 4, pentru orice număr natural par n - 2p

SUBIECTUL al III-lea / 6. det(M(m) + mI₂) = 4m + 3, det(M(−2m)) = −4m² − 4m + 3, pentru orice număr întreg m - 2p 4m + 3 ≤ −4m² − 4m + 3, deci m² + 2m ≤ 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = −2, m = −1 și m = 0 - 3p

SUBIECTUL al III-lea, 6. det(bA(a)) = ab², pentru orice numere naturale a și b - 2p ab² = 4 și, cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile (1,2) și (4,1) - 3p

A(−1) · (x, y)ᵀ = [[1, 2], [2, −7]] · (x, y)ᵀ = (x + 2y, 2x − 7y)ᵀ, unde x și y sunt numere reale - 2p (x + 2y, 2x − 7y)ᵀ = (−1, 9)ᵀ, de unde obținem x = 1 și y = −1 - 3p

A(a) + I₂ = ⎛a + 2  −1⎞
            ⎝  1     a⎠

⇒ det(A(a) + I₂) = a² + 2a + 1, pentru orice număr real a - 3p a² + 2a + 1 = (a + 1)² ≥ 0, pentru orice număr real a - 2p

A⁻¹ = A ⇒ X = A · B - 3p X = [1 2; 1 3] - 2p

6. Inversa matricei B(0) este matricea

⎡0   1⎤
⎣1  −2⎦ - 2p
X = ⎡−1  2⎤ · ⎡0   1⎤ = ⎡2  −5⎤ - 3p
    ⎣ 2  1⎦   ⎣1  −2⎦   ⎣1   0⎦

A(x, y) · A(x, y) = ⎛ x² + y  xy + 2y ⎞,
                    ⎝  x + 2    y + 4 ⎠
2I₂ = ⎛ 2  0 ⎞ - 2p
      ⎝ 0  2 ⎠
⎛ x² + y  xy + 2y ⎞   ⎛ 2  0 ⎞
⎝  x + 2    y + 4 ⎠ = ⎝ 0  2 ⎠,

de unde obținem x = −2 și y = −2 - 3p

x · A + y · B = x⎛1  0⎞ + y⎛ 1  0⎞ = ⎛ x + y         0⎞
                 ⎝3  1⎠    ⎝−3  1⎠   ⎝3x − 3y    x + y⎠

- 3p

⎛ x + y         0⎞ = ⎛2  0⎞, de unde obținem x = y = 1
⎝3x − 3y    x + y⎠   ⎝0  2⎠

- 2p

det(X(a²)) = a² + 1, pentru orice număr real a - 3p a² + 1 ≤ 10, de unde obținem a ∈ [−3,3] - 2p

SUBIECTUL al III-lea / 6. B(2ˣ · 3ˣ) − 2ˣB(3ˣ) = 2(2ˣ − 1)I₂, pentru orice număr real x - 3p 2(2ˣ − 1) = 6, de unde obținem x = 2 - 2p

B(3) · B(3) = 3²I₂, B(4) · B(4) = 4²I₂ și B(n) · B(n) = n²I₂, unde n este număr natural - 3p 25I₂ = n²I₂, deci n² = 25 și, cum n este număr natural, obținem n = 5 - 2p

M(x, x) · M(x, −x) =

⎛2x   8x⎞ ⎛0   4x⎞
⎝ 0  −2x⎠ ⎝0  −2x⎠
= x² ⎛0  −8⎞
     ⎝0   4⎠

= x²M(−2, 2), pentru orice număr real x - 3p x²M(−2, 2) = M(−2, 2), de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 2p

(A(5) − 3I₂) · X = A(0) și, cum (A(5) − 3I₂)⁻¹ = −(1/2)A(5), obținem X = −(1/2)A(5) · A(0) - 3p

X = ⎛ −3/2  −1/2 ⎞
    ⎝ −1    −1   ⎠ - 2p

6. Cum matricea B(4) este inversabilă, obținem X = (B(4))⁻¹·(2A) - 2p

(B(4))⁻¹ = ⎛ 1/3  −1/2⎞
           ⎝−1/3    1 ⎠,

de unde obținem

X = ⎛2   5⎞
    ⎝2  −6⎠ - 3p

C(a,b) = aA(b) + bA(a) = [2ab−a−b 2ab; 2ab 2ab+a+b], unde a și b sunt numere reale - 2p 8ab = 24, deci ab = 3 și, cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile (1,3) și (3,1) - 3p

B(2m) − B(2n + 1) = ⎛4m − 4n − 2  6m − 6n − 3⎞
                    ⎝1 − 2m + 2n        0       ⎠,

pentru orice numere întregi m și n - 2p N = 3(1 − 2m + 2n)² și, cum (1 − 2m + 2n)² este număr natural impar, obținem că numărul N este natural, multiplu impar de 3, pentru orice numere întregi m și n - 3p

B(a) = B(√a), unde a este număr real, a ≥ 0 - 2p a = √a, de unde obținem a = 0 sau a = 1, care convin - 3p

X(2a + a²) = X(2b + b²) ⇔ 2a + a² = 2b + b² - 2p (a − b)(a + b + 2) = 0 și, cum a și b sunt numere reale distincte, obținem a + b + 2 = 0 - 3p

aM(b) + bM(a) = ⎛ a    3ab ⎞ + ⎛ b    3ab ⎞ = ⎛a + b      6ab    ⎞
                ⎝2ab  ab + a⎠   ⎝2ab  ab + b⎠   ⎝ 4ab   2ab + a + b⎠ - 2p
⎛a + b      6ab    ⎞ = ⎛1  0⎞
⎝ 4ab   2ab + a + b⎠   ⎝0  1⎠, de unde obținem perechile de numere naturale (0, 1) și (1, 0) - 3p

X · B(0) = [a b; c d] · [2 1; 1 0] = [2a + b a; 2c + d c], unde X = [a b; c d] - 2p [2a + b a; 2c + d c] = [−1 2; 2 1], de unde obținem a = 2, b = −5, c = 1 și d = 0, deci X = [2 −5; 1 0] - 3p

6.

M(a) − 2·A = ⎛a  2⎞ − ⎛0  4⎞ = ⎛ a  −2⎞
             ⎝2  a⎠   ⎝4  0⎠   ⎝−2   a⎠

2p M(a)·(M(a) − 2·A) = (M(a) − 2·A)·M(a) = I₂, deci a² = 5, și cum a < −2, obținem că a = −√5 3p

det(aA) = −7a² - 2p −7a² ≥ −28 ⇒ a² ≤ 4, și cum a ∈ ℤ, obținem a = −2, a = −1, a = 0, a = 1 sau a = 2 deci a poate avea 5 valori - 3p

6.

A(a) · A(b) = ⎛9 + ab   3b + 3a⎞
              ⎝3a + 3b   ab + 9⎠,

deci 2(9 + ab) + 6(a + b) = 2 ⇔ ab + 3a + 3b + 9 = 1 - 2p (a + 3)(b + 3) = 1 și, cum a și b sunt numere întregi, obținem (−2, −2) sau (−4, −4) - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea / 6. B(3) = −8I₂, deci B(6n) = A ⋅ A ⋅ … ⋅ A ⋅ A ⋅ A ⋅ A (de 6n ori A) = B(3) ⋅ B(3) ⋅ … ⋅ B(3) (de 2n ori B(3)) = (−8)²ⁿI₂, unde n este număr natural nenul - 3p B(6n) = 64ⁿI₂, deci B(6n) are toate elementele numere naturale, pentru orice număr natural nenul n - 2p