Punctul N este mijlocul segmentului BB′, punctul M este mijlocul segmentului CC′, AN ∩ (A′B′C′) = {P} și D′M ∩ (ABC) = {Q}. Determină lungimea segmentului PQ.
Arată baremul
Răspuns: 6√2 cm
6. b) AN ∩ A′B′ = {P}, D′M ∩ DC = {Q} - 1p
ΔABN ≡ ΔPB′N ⇒ AB = PB′ și ΔD′C′M ≡ ΔQCM ⇒ D′C′ = QC - 1p
PB′ = QC și PB′ ∥ QC ⇒ CQPB′ este paralelogram, deci PQ = B′C = 6√2 cm - 1p
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 8 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar dreptele A′B și AB′ se intersectează în punctul E. Punctul F este mijlocul segmentului CC′.
Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ este egal cu 512 cm³.
Demonstrează că dreptele FO și DE sunt perpendiculare.
Arată baremul
6. b)
FO este linie mijlocie în triunghiul ACC′ ⇒ FO ∥ AC′, deci ∠(FO, DE) = ∠(AC′, DE) - 1p
AB′ ∥ DC′, deci ΔAQE ∼ ΔC′QD ⇒ AQ/C′Q = QE/QD = AE/C′D = 1/2, unde {Q} = DE ∩ AC′, de unde obținem QD = (2/3) · DE și C′Q = (2/3) · C′A - 1p
DE = 4√6 cm, C′A = 8√3 cm ⇒ QD = (8√6)/3 cm, C′Q = (16√3)/3 cm și, cum C′D = 8√2 cm și QD² + C′Q² = 128 = C′D² ⇒ ∠DQC′ = 90°, obținem că ∠(FO, DE) = 90°, deci dreptele FO și DE sunt perpendiculare - 1p
În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA′B′C′ cu baza triunghiul echilateral ABC, AB = 12 cm și AA′ = 3√3 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB.
Arată că aria laterală a prismei ABCA′B′C′ este egală cu 108√3 cm².
Determină distanța de la punctul M la planul (A′B′C).
Arată baremul
Răspuns: (6√15)/5 cm
SUBIECTUL al III-lea
6. b)
A′C = B′C, deci CN ⟂ A′B′, unde punctul N este mijlocul segmentului A′B′ și, cum MN ⟂ A′B′, CN ∩ MN = {N} și CN, MN ⊂ (CMN), obținem A′B′ ⟂ (CMN) - 1p
MP ⟂ CN, P ∈ CN; A′B′ ⟂ (CMN), MP ⊂ (CMN), deci A′B′ ⟂ MP; cum A′B′ ∩ CN = {N}, A′B′ și CN ⊂ (A′B′C), obținem MP ⟂ (A′B′C), deci d(M, (A′B′C)) = MP - 1p
Triunghiul MNC este dreptunghic în M, MN = 3√3 cm, CM = 6√3 cm, deci CN = 3√15 cm, de unde obținem MP = (6√15)/5 cm - 1p
Calculează distanța de la punctul C la planul (BDC′).
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. b) AC ∩ BD = {O}, CC′ ⟂ (ABC), BD ⊂ (ABC), deci BD ⟂ CC′ și, cum BD ⟂ AC, obținem CC′ ∩ AC = {C}, deci BD ⟂ (CC′O) - 1p
CP ⟂ C′O, P ∈ C′O, CP ⊂ (CC′O), deci CP ⟂ BD, C′O ∩ BD = {O}, obținem CP ⟂ (BDC′), deci CP reprezintă distanța de la punctul C la planul (BDC′) - 1p
Triunghiul C′CO este dreptunghic în C ⇒ C′O = 5√6 cm și CP = (CO · CC′)/C′O = (10√3)/3 cm - 1p
În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDEF cu baza triunghiul echilateral ABC și AB = AD = 10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB.
Arată că volumul prismei ABCDEF este egal cu 250√3 cm³.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a)
𝒜_△ABC = 25√3 cm² - 1p
V_ABCDEF = 𝒜_△ABC · AD = 250√3 cm³ - 1p
Demonstrează că distanța de la punctul B la planul (EMC) este egală cu 2√5 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. b)
BP ⟂ EM, unde P ∈ EM - 1p
CM ⟂ AB, CM ⟂ AD, AB ∩ AD = {A} ⇒ CM ⟂ (BAD) de unde obținem BP ⟂ CM și, cum CM ∩ EM = {M} ⇒ BP ⟂ (EMC) - 1p
d(B, (EMC)) = BP = (MB · BE)/EM = 2√5 cm - 1p
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm. Intersecția dreptelor BC′ și B′C este punctul O și punctul M este mijlocul segmentului AB.
Arată că AO = 3√6 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a) AB′ = B′C = AC = 6√2 cm, deci triunghiul AB′C este echilateral - 1p
Punctul O este mijlocul segmentului B′C, deci AO este înălțime în triunghiul AB′C, de unde obținem AO = 3√6 cm - 1p
Determină distanța de la punctul M la planul (AB′C).
Arată baremul
Răspuns: √3 cm
SUBIECTUL al III-lea
6. b) AO ⟂ B′C, BC′ ⟂ B′C, AO ∩ BC′ = {O}, deci B′C ⟂ (ABC′) - 1p
ME ⟂ AO, unde E ∈ AO, ME ⟂ B′C și, cum AO ∩ B′C = {O}, obținem ME ⟂ (AB′C), deci distanța de la punctul M la planul (AB′C) este ME - 1p
△AME ∼ △AOB ⇒ AM/AO = ME/OB, de unde obținem ME = √3 cm - 1p
Determină distanța de la punctul O la planul (BDD′), unde O este punctul de intersecție a dreptelor AD′ și A′D.
Arată baremul
Răspuns: 3 cm
SUBIECTUL al III-lea
6. b) Punctul M este mijlocul segmentului D′Q, unde {Q} = AC ∩ BD, deci OM ∥ AQ - 1p
AQ ⟂ BD, AQ ⟂ DD′, {D} = DD′ ∩ BD ⇒ AQ ⟂ (BDD′) ⇒ OM ⟂ (BDD′), deci d(O, (BDD′)) = OM - 1p
OM = AQ/2 = (6√2 · √2)/4 = 3 cm - 1p
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 8 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AD, DC, respectiv DD′.
Arată că aria triunghiului MNP este egală cu 8√3 cm².
Arată baremul
6. a)
MN este linie mijlocie în triunghiul DAC, deci MN = AC/2 = (8√2)/2 = 4√2 cm - 1p
NP = MP = 4√2 cm, deci triunghiul MNP este echilateral ⇒ 𝒜_△MNP = [(4√2)² · √3]/4 = 8√3 cm² - 1p
Arată că distanța la punctul D′ la planul (MNP) este egală cu (4√3)/3 cm.
Arată baremul
6. b)
DD′ ∩ (MNP) = {P}, P mijlocul lui DD′, de unde obținem d(D′, (MNP)) = d(D, (MNP)) - 1p
DM = DN = DP, deci DMNP este piramidă regulată cu baza triunghiul echilateral MNP ⇒ d(D, (MNP)) = DT, unde T este centrul cercului circumscris triunghiului MNP - 1p
PQ ⟂ MN, Q ∈ MN, DQ = (1/4) · BD = 2√2 cm, DP = 4 cm și, cum PQ = 2√6 cm ⇒ DT = (DP · DQ)/PQ = (4√3)/3 cm, deci d(D′, (MNP)) = DT = (4√3)/3 cm - 1p
Scrie rezolvările complete.
În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat ABCD, cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AD și punctul P este simetricul punctului B față de punctul M.
Arată că CP = 6√2 cm.
Arată baremul
6. a) BM = CM și PM = BM ⇒ BP = 2 · CM, deci triunghiul PCB este dreptunghic în C - 1p
CM = 3√3 cm, PC = √(PB² − BC²) = 6√2 cm - 1p
Arată că sinusul unghiului dreptelor DP și CM este egal cu √33/6.
Arată baremul
6. b) ME este linie mijlocie în triunghiul PDB, unde E este mijlocul segmentului BD, deci ME ∥ DP ⇒ ∠(DP, CM) = ∠(ME, CM) - 1p
ME = AB/2 = 3 cm și, cum CE = CM, obținem că triunghiul MCE este isoscel - 1p
CF ⟂ ME, F ∈ ME ⇒ CF = √((3√3)² − (3/2)²) = (3√11)/2 cm, iar din triunghiul dreptunghic CFM rezultă că sin(∠CMF) = CF/MC = ((3√11)/2) · (1/(3√3)) = √33/6 - 1p
Determină tangenta unghiului dintre dreapta MC′ și planul (B′BC), unde punctul M este mijlocul segmentului AB.
Arată baremul
Răspuns: 1/2
SUBIECTUL al III-lea
6. b)
MN ⊥ BC, N ∈ BC, MN ⊥ B′B, B′B ∩ BC = {B} ⇒ MN ⊥ (B′BC), de unde obținem că
∠(C′M, (B′BC)) = ∠(C′M, C′N) = ∠MC′N - 1p
În triunghiul MNB, dreptunghic în N, sin(∠B) = MN/MB ⇒ MN = 3√3 cm
În triunghiul C′CN, dreptunghic în C, C′N = √(C′C² + CN²) = 6√3 cm - 1p
Cum C′N ⊂ (B′BC) ⇒ MN ⊥ C′N, deci triunghiul C′MN este dreptunghic în N, de unde obținem tg(∠MC′N) = MN/C′N = 1/2 - 1p
6. În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCD, cu baza ABCD, VA = AB = 12 cm. Punctul M este mijlocul muchiei VA, iar punctul N este proiecția punctului M pe planul (ABC).
Arată că volumul piramidei VABCD este egal cu 288√2 cm³.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a) AC ∩ BD = {O}, VO ⊥ (ABC), VO = 6√2 cm - 1p
V = (A_ABCD · VO)/3 = (144 · 6√2)/3 = 288√2 cm³ - 1p
Determină tangenta unghiului dintre dreapta MN și planul (VAD).
Arată baremul
Răspuns: √2/2
SUBIECTUL al III-lea
6. b) MN ⊥ (ABC), AD ⊂ (ABC), deci MN ⊥ AD, NQ ⊥ AD, Q ∈ AD și, cum MN ∩ NQ = {N} ⇒ AD ⊥ (QNM) - 1p
NT ⊥ MQ, T ∈ MQ și NT ⊥ AD, MQ ∩ AD = {Q}, de unde obținem NT ⊥ (VAD), deci ∠(MN, (VAD)) = ∠(MN, MT) = ∠NMQ - 1p
MN = 3√2 cm, NQ = 3 cm, de unde obținem tg(∠NMQ) = √2/2 - 1p
Calculează distanța de la punctul H la planul (CMN).
Arată baremul
Răspuns: (6√5)/5 cm
SUBIECTUL al III-lea
6. b)
Punctul Q este mijlocul segmentului GC ⇒ HQ ∥ NC, NC ⊂ (MNC), deci HQ ∥ (MNC), de unde obținem d(H, (MNC)) = d(Q, (MNC)) - 1p
QR ⟂ NC, R ∈ NC, MN ∥ BC, BC ⟂ (DCG) ⇒ MN ⟂ (DCG), deci MN ⟂ QR.
Cum MN ∩ CN = {N}, MN, CN ⊂ (MNC), obținem QR ⟂ (MNC), deci d(Q, (MNC)) = QR - 1p
ΔNQC dreptunghic în Q, de unde obținem QR = (NQ · QC)/NC = (6√5)/5 cm - 1p
6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat ABCD, cu AB = 20 cm, iar punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv CD.
Arată că lungimea segmentului MN este egală cu 10√2 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a) CM și DM sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale ABC și ABD, deci CM = DM = 10√3 cm - 1p
MN este înălțime în triunghiul isoscel CMD, deci MN = √(CM² − CN²) = 10√2 cm - 1p
6. b) PN este linie mijlocie în triunghiul DBC, unde P este mijlocul lui BC, deci PN ∥ BD, de unde ∠(MN, BD) = ∠(MN, PN) - 1p
Cum PN = BD/2 = 10 cm, MP = AC/2 = 10 cm, rezultă că MP² + PN² = MN², deci triunghiul MPN este dreptunghic isoscel, cu ∠MPN = 90° - 1p
Obținem ∠(MN, PN) = ∠MNP = 45°, deci ∠(MN, BD) = 45° - 1p
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB și punctul P este mijlocul segmentului C′C.
Arată că lungimea segmentului CM este egală cu 2√5 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a) MB = 2 cm - 1p
În triunghiul dreptunghic CBM, CM = √(MB² + BC²) ⇒ CM = √(2² + 8²) = 2√5 cm - 1p
Arată că măsura unghiului dreptelor BO și MP este egală cu 60°, unde A′C′ ∩ B′D′ = {O}.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. b) SOBM paralelogram, unde S este mijlocul muchiei A′D′ ⇒ BO ∥ MS, deci ∢(BO, MP) = ∢(MS, MP) - 1p
Triunghiurile SAM, MCP și PD′S sunt congruente, deci SM = MP = PS - 1p
Triunghiul SMP este echilateral, deci ∢(MS, MP) = ∢SMP = 60° - 1p
Arată că dreapta NP este paralelă cu planul (ACD′), unde punctul N este proiecția punctului C′ pe dreapta B′D′ și punctul P este proiecția punctului C′ pe dreapta CB′.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. b) △B′C′D′ ≡ △B′C′C ⇒ B′D′ = B′C - 1p
În triunghiul B′C′D′ dreptunghic, B′N = B′C′²/B′D′ și în triunghiul B′C′C dreptunghic, B′P = B′C′²/B′C, de unde B′N = B′P - 1p
În triunghiul B′D′C, B′N/B′D′ = B′P/B′C ⇒ NP ∥ D′C, D′C ⊂ (ACD′) ⇒ NP ∥ (ACD′) - 1p
Scrie rezolvările complete.
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′. Punctele M, N, P și Q sunt mijloacele segmentelor AA′, A′D′, DD′, respectiv AD.
Arată că MN = PQ.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea:
6. a)
MN este linie mijlocie în triunghiul AA′D′ ⇒ MN = AD′/2 - 1p
PQ este linie mijlocie în triunghiul ADD′ ⇒ PQ = AD′/2, deci MN = PQ - 1p
Determină distanța de la punctul O la planul (CMD), unde punctul M este mijlocul segmentului A′B′.
Arată baremul
Răspuns: 2√2 cm
SUBIECTUL al III-lea
6. b)
DC ⟂ MP, DC ⟂ OP, MP ∩ OP = {P} și MP, OP ⊂ (MOP) ⇒ DC ⟂ (MOP), unde punctul P este mijlocul segmentului DC - 1p
ON ⟂ MP, N ∈ MP și, cum ON ⟂ DC, MP ∩ DC = {P}, MP, DC ⊂ (CMD), obținem ON ⟂ (CMD), deci d(O, (CMD)) = ON - 1p
𝒜_{△MOP} = (ON · MP)/2 = (OP · d(M, OP))/2 și, cum OP = 4 cm, d(M, OP) = 8 cm și MP = 8√2 cm, obținem ON = 2√2 cm - 1p
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului B′C′ și dreptele BM și B′C se intersectează în punctul R. Punctul P aparține segmentului AC, astfel încât AP = 2√2 cm.
Arată că CP = 2 · AP.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a) AC = 6√2 cm - 1p
CP = AC − AP = 4√2 cm = 2 · AP - 1p
6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 2√3 cm, BC = 2 cm și AA′ = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC.
Arată că volumul paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ este egal cu 16√3 cm³.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a) V = AB · BC · AA′ = - 1p
= 2√3 · 2 · 4 = 16√3 cm³ - 1p
Demonstrează că dreapta A′C este paralelă cu planul (MAB′).
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. b) ABB′A′ este dreptunghi, A′B ∩ AB′ = {O}, deci O este mijlocul segmentului A′B - 1p
În triunghiul A′BC, OM este linie mijlocie, de unde OM ∥ A′C - 1p
OM ⊂ (AMB′), deci A′C ∥ (AMB′) - 1p
6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD, cu baza pătratul ABCD, cu AB = 8 cm. Înălțimea VO a piramidei are lungimea egală cu 4√3 cm, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD.
Arată că volumul piramidei VABCD este egal cu (256√3)/3 cm³.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a)
V = (1/3)𝒜_ABCD · VO = (1/3) · AB² · VO = - 1p
= (256√3)/3 cm³ - 1p
Demonstrează că măsura unghiului planelor (VAD) și (VBC) este egală cu 60°.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. b)
Construim, prin V, dreapta d, d ∥ AD ∥ BC, de unde (VAD) ∩ (VBC) = d - 1p
VS ⊥ AD, unde S ∈ AD, VR ⊥ BC, unde R ∈ BC, deci VS ⊥ d și VR ⊥ d, de unde ∠((VAD), (VBC)) = ∠(VS, VR) - 1p
VR = VS = RS = 8 cm, deci triunghiul VRS este echilateral, de unde ∠SVR = 60°, deci ∠((VAD), (VBC)) = 60° - 1p
6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată SABCD cu baza pătratul ABCD, ∠SAC = 45° și AB = 12 cm. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor BC, respectiv SD, iar O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD.
Arată că SC = 12 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a) AC diagonală în pătratul ABCD, deci AC = 12√2 cm - 1p
∠SAC = ∠SCA = 45° ⇒ SAC este triunghi dreptunghic isoscel ⇒ SA² + SC² = AC² ⇒ SC = 12 cm - 1p
6. b) NP este linie mijlocie în triunghiul SAD, unde P este mijlocul segmentului SA, deci NP ∥ AD și NP = AD/2 - 1p
NP ∥ MB și NP = MB ⇒ BMNP este paralelogram, deci MN = BP - 1p
BP este înălțime în triunghiul echilateral SAB, deci BP = 6√3 cm, de unde MN = 6√3 cm - 1p
Calculează distanța de la punctul A la planul (A′D′C).
Arată baremul
Răspuns: 50√2 cm
SUBIECTUL al III-lea
6. b) AQ ⟂ A′B, unde Q este mijlocul lui A′B, A′D′ ⟂ (A′AB) ⇒ AQ ⟂ A′D′ și, cum A′D′ ∩ A′B = {A′} și A′B ⊂ (A′D′C), obținem că AQ = d(A, (A′D′C)) - 2p
AQ = 50√2 cm - 1p
În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, AB = VA = 6 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor BC, AD, respectiv VB.
Arată că unghiul dintre dreapta VB și planul (ABC) are măsura de 45°.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a)
∠(VB, (ABC)) = ∠VBO, unde {O} = AC ∩ BD - 1p
Triunghiul VBD este dreptunghic isoscel ⇒ ∠(VB, (ABC)) = 45° - 1p
6. b)
AMCN este paralelogram ⇒ AM ∥ CN - 1p
PM este linie mijlocie în ΔBCV ⇒ PM ∥ CV și, cum CN ∥ MA, CN ∩ CV = {C} și MA ∩ MP = {M} ⇒ (NCV) ∥ (AMP) - 2p
6. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 6√2 cm, BC = 6 cm și măsura unghiului D′CA′ egală cu 30°.
Arată că DD′ = 6 cm.
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea
6. a)
A′D′ ⊥ (C′D′D), D′C ⊂ (C′D′D), deci triunghiul A′D′C este dreptunghic în D′ și cum ∠A′CD′ = 30°, obținem A′C = 12 cm - 1p
D′C = 6√3 cm, deci DD′ = √(12² − (6√3)²) = 6 cm - 1p
Calculează distanța de la punctul A la planul (A′D′C).
Arată baremul
Răspuns: 2√6 cm
SUBIECTUL al III-lea
6. b)
D′A′ ⊥ A′B′, D′A′ ⊥ AA′, A′B′ ∩ AA′ = {A′}, deci D′A′ ⊥ (A′AB) - 1p
AM ⊥ A′B, unde M ∈ A′B, A′D′ ⊥ AM și A′D′ ∩ A′B = {A′}, deci AM ⊥ (A′D′C), de unde rezultă d(A, (A′D′C)) = AM - 1p
Triunghiul A′AB dreptunghic în A, deci A′B = 6√3 cm și AM = (AA′ · AB)/A′B = 2√6 cm - 1p
