Subiectul al III-lea, 4., toate variantele

B = ⎡−1/2  −1⎤
    ⎣  1    1⎦ - 2p

A(2)·B = B·A(2) = I₂, deci matricea B este inversa matricei A(2) - 3p

(B(1, −1))⁻¹ = [1/2 −1/2; 1/2 1/2] - 3p X = A · (B(1, −1))⁻¹ = [0 −1; 2 −1] - 2p

4. M(−2x) = [[2, −6x], [−2x, 2]], M(x) + M(−2x) = [[4, −3x], [−x, 4]], det(M(x) + M(−2x)) = 16 − 3x², pentru orice număr real x - 3p 16 − 3x² = 4, de unde obținem x = −2 sau x = 2 - 2p

4.

M(3) = ⎛ 3   1⎞,
       ⎝−3  −1⎠
M(3) · M(3) = ⎛ 6   2⎞ = 2M(3) - 3p
              ⎝−6  −2⎠

2M(3) = xM(3), de unde obținem x = 2 - 2p

A(a)·A(b) = [1 a−1; 0 a]·[1 b−1; 0 b] = [1 b−1+(a−1)b; 0 ab] = - 3p = [1 ab−1; 0 ab] = A(ab), pentru orice numere reale a și b - 2p

det(A(a)) = |a + 2 2; 2 a − 6| = a² − 4a − 16, pentru orice număr real a - 3p a² − 4a − 16 = −20, de unde obținem a = 2 - 2p

A(a)·A(a) = ⎛a + 1   −1 ⎞⎛a + 1   −1 ⎞
            ⎝  1    a − 1⎠⎝  1    a − 1⎠
          = ⎛a² + 2a    −2a  ⎞
            ⎝   2a    a² − 2a⎠,

pentru orice număr real a - 3p

⎛a² + 2a    −2a  ⎞ = ⎛8  −4⎞
⎝   2a    a² − 2a⎠   ⎝4   0⎠,

de unde obținem a = 2 - 2p

A − B − xI₂ = [−x −2; 1 −x], pentru orice număr real x - 3p [−x −2; 1 −x] = [−2 −2; 1 −2], de unde obținem x = 2 - 2p

4.

B(a) · B(−2) = ⎡1     a  ⎤
               ⎣a  1 − 2a⎦, pentru orice număr real a - 2p
Cum B(0) − I₂ = ⎡1   1⎤
                 ⎣1  −1⎦, obținem
⎡1   1⎤ = ⎡1     a  ⎤ ⇔ a = 1 - 3p
⎣1  −1⎦   ⎣a  1 − 2a⎦

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea / 4.

⎛ x  y ⎞ ⎛  1  2 ⎞   ⎛  1  2 ⎞ ⎛ x  y ⎞
⎝ 1  2 ⎠ ⎝ −1  0 ⎠ = ⎝ −1  0 ⎠ ⎝ 1  2 ⎠

⇔

⎛ x−y  2x ⎞   ⎛ x+2  y+4 ⎞
⎝  −1   2 ⎠ = ⎝  −x   −y ⎠ - 3p

x = 1 și y = −2 - 2p

A − aI₂ = ⎛1  0⎞ − ⎛a  0⎞ = ⎛1 − a      0⎞
          ⎝3  1⎠   ⎝0  a⎠   ⎝  3    1 − a⎠

- 3p det(A − aI₂) = 0 ⇔ (1 − a)² = 0, deci a = 1 - 2p

X(a) · X(−1) = (I₂ + aA) · (I₂ − A) = I₂² − I₂ · A + aA · I₂ − aA² = - 3p = I₂ − A = X(−1), pentru orice număr real a - 2p

SUBIECTUL al III-lea / 4. det(B(x)) = 2x² − 10x + 4, pentru orice număr real x - 3p 2x² − 10x + 4 = 4 ⇔ x² − 5x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 5 - 2p

4. B(x)·B(x) =

⎛     4 + (x² − 4)         2(x + 2) − 2(x + 2)⎞
⎝2(x − 2) − 2(x − 2)          (x² − 4) + 4    ⎠ = - 3p
= ⎛x²  0 ⎞ = x²⎛1  0⎞ = x²I₂, pentru orice număr real x - 2p
  ⎝0   x²⎠     ⎝0  1⎠

M(x, y) = ⎛x + y  6x + 2y⎞
          ⎝  0      −2x  ⎠
⇒ M(x, y) · A = ⎛x + y  −6x + 2y⎞
                ⎝  0       4x   ⎠,

pentru orice numere reale x și y - 3p

⎛x + y  −6x + 2y⎞ = ⎛1  2⎞
⎝  0       4x   ⎠   ⎝0  0⎠,

de unde obținem x = 0 și y = 1 - 2p

A(0) · A(1) = ⎛ 0   4 ⎞
              ⎝ −1  5 ⎠,
A(0) · A(1) − A(x) = ⎛ −x  x + 2 ⎞
                     ⎝ −x  x + 2 ⎠, pentru orice număr real x - 3p

det(A(0) · A(1) − A(x)) = −x(x + 2) + x(x + 2) = 0, pentru orice număr real x - 2p

4.

2B(m) − A = ⎛2m − 5     0   ⎞
            ⎝   0     2m − 3⎠,

det(2B(m) − A) = (2m − 5)(2m − 3), pentru orice număr întreg m - 2p (2m − 5)(2m − 3) < 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = 2 - 3p

det(A(a)) = |a−1 a; a a+1| = (a−1)(a+1) − a² = - 3p = a² − 1 − a² = −1, deci det(A(a)) ≠ 0, de unde obținem că matricea A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a - 2p

B(−x) = [−2x −3x+1; 1+x 1] ⇒ B(−x) + 2B(x) = [2x 3x+3; 3−x 3] = - 3p = 3[2·(x/3) 3·(x/3)+1; 1−x/3 1] = 3B(x/3), pentru orice număr real x - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea / 4.

C(n) = ⎛n + 2    0  ⎞
       ⎝  0    n + 2⎠,

deci det(C(n)) = (n + 2)², pentru orice număr natural n - 3p Cum n este număr natural, det(C(n)) ≠ 0, deci matricea C(n) este inversabilă pentru orice număr natural n - 2p

A · X(a) = A · (I₂ + aA) = A · I₂ + a · A · A = A + aA = - 3p = (a + 1)A, pentru orice număr real a - 2p

det(M(x)) = x + 1 − 6x² - 2p 6x² − x − 1 = 0, deci x = −1/3 sau x = 1/2 - 3p

[a + 2 1; 1 a] · [a + 2 1; 1 a] = [(a + 2)² + 1 2 + 2a; 2 + 2a 1 + a²], B(5/4) = [13/4 1; 1 5/4] - 3p [(a + 2)² + 1 2 + 2a; 2 + 2a 1 + a²] = [13/4 1; 1 5/4], de unde obținem a = −1/2 - 2p

4. M(a)·M(b) = (ab + 4)·I₂ + (a + b)·A = 7·I₂ + 4·A ⇒ 3p ⇒ ab = 3 și a + b = 4 și cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile (3,1) și (1,3) 2p

det(mA − I₂) = 1 − 7m², det(A + I₂) = −6 - 2p 7m² − 6m − 1 = 0, de unde obținem m = −1/7 sau m = 1 - 3p

SUBIECTUL al III-lea, 4. A(1) + A(2) + … + A(10)

= ⎛3  1⎞ + ⎛3  2⎞ + … + ⎛ 3  10⎞
  ⎝1  3⎠   ⎝2  3⎠       ⎝10   3⎠
= ⎛     3·10      1 + 2 + … + 10⎞
  ⎝1 + 2 + … + 10      3·10     ⎠ = - 2p
= ⎛30  55⎞ = 10⎛  3   11/2⎞ = 10A(11/2) - 3p
  ⎝55  30⎠     ⎝11/2    3 ⎠

det(2mA + I₂) = | 2m + 1 6m | | −2m 2m + 1 | = 16m² + 4m + 1 și 2m det(A − I₂) = 6m, pentru orice număr real m - 3p 16m² + 10m + 1 = 0, de unde obținem m = −1/2 sau m = −1/8 - 2p