Subiectul al III-lea, 5., toate variantele

A(x)·A(x) = ⎡16 − 8x    5x − 2x²⎤
            ⎣−5x + 2x²   1 − 2x ⎦, pentru orice număr real x - 3p
⎡16 − 8x    5x − 2x²⎤   ⎡y  0⎤
⎣−5x + 2x²   1 − 2x ⎦ = ⎣0  y⎦, de unde obținem x = 5/2 și y = −4 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea / 5.

aA − B(a,b) = ⎛  0     −2a⎞
              ⎝3a − b    0⎠

⇒ det(aA − B(a,b)) = 2a(3a − b), pentru orice numere reale a și b - 3p 2a(3a − b) = 0 și, cum a ≠ 0, rezultă că 3a = b - 2p

5. M(x)·M(−1) + M(y) = [[4 − 3x, −6 + 6x], [2x − 2, −3x + 4]] + [[2, 3y], [y, 2]] = [[6 − 3x, −6 + 6x + 3y], [2x − 2 + y, −3x + 6]], pentru orice numere reale x și y - 3p [[6 − 3x, −6 + 6x + 3y], [2x − 2 + y, −3x + 6]] = [[24, −36], [−12, 24]], de unde obținem x = −6 și y = 2 - 2p

SUBIECTUL al III-lea / 5.

(M(1))⁻¹ = ⎡1/4  −1/4⎤
            ⎣3/4   1/4⎦ - 3p

X = 2(M(1))⁻¹ · M(−1), deci

X = ⎡ 1  −1⎤
    ⎣−3   3⎦ - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea, 5. B = A(2)·A(3) = A(6) - 2p A(6)·A(1/6) = A(1/6)·A(6) = A(1) = I₂, de unde obținem că inversa matricei B este matricea

A(1/6) = ⎡1  −5/6⎤
         ⎣0   1/6⎦ - 3p

A(a²) − A(a) = ⎛a² − a     0   ⎞
              ⎝  0      a² − a⎠, pentru orice număr real a - 2p
⎛a² − a     0   ⎞   ⎛2  0⎞
⎝  0      a² − a⎠ = ⎝0  2⎠, de unde obținem a = −1 sau a = 2 - 3p

Inversa matricei A(1) este matricea

⎛ 0  1⎞
⎝−1  2⎠ - 3p

X = ⎛3  −1⎞ ⎛ 0  1⎞ = ⎛ 1  1⎞
    ⎝1   1⎠ ⎝−1  2⎠   ⎝−1  3⎠ - 2p

a(A + B) = [2a 2a; a −2a], deci det(a(A + B)) = −6a², pentru orice număr real a - 3p −6a² = −6, de unde obținem a = −1 sau a = 1 - 2p

SUBIECTUL al III-lea, 5.

det(B(a − 1)) = │a + 1    1  │ = a² − 2, pentru orice număr real a - 2p
                │  1    a − 1│

Cum a este număr rațional, obținem a² − 2 ≠ 0, deci matricea B(a − 1) este inversabilă - 3p

5. A(log₃ x, 1) = [[log₃ x, 1], [1, 2]], deci suma elementelor matricei este 4 + log₃ x - 3p 4 + log₃ x = 5 ⇔ log₃ x = 1, de unde obținem x = 3, care convine - 2p

m · (A + B) = ⎛2m   0⎞, det(m(A + B)) = 4m²
              ⎝ 0  2m⎠

- 3p m · det(A + B) = 4m, deci 4m² = 4m, de unde obținem m = 0 sau m = 1 - 2p

det(X(a)) = │1 + 5a     5a│
            │   −4a  1 − 4a│ = (1 + 5a)(1 − 4a) − 5a(−4a) = 1 + a, pentru orice număr real a - 3p

det(X(a)) = 0, de unde obținem a = −1 - 2p

B(xy) − xB(y) = xyA − 2I₂ − x(yA − 2I₂) = xyA − 2I₂ − xyA + 2xI₂ = - 3p = 2xI₂ − 2I₂ = 2(x − 1)I₂, pentru orice numere reale x și y - 2p

5. det(B(x)) = −x² și det(B(x + 1)) = −(x + 1)², pentru orice număr real x - 3p −x² = −(x + 1)² ⇔ 2x + 1 = 0, de unde obținem x = −1/2 - 2p

det(M(x,y)) = −2x(x + y), det(M(y,x)) = −2y(x + y), pentru orice numere reale x și y - 2p −2x(x + y) = −2y(x + y), deci (x + y)(x − y) = 0 și, cum x și y sunt numere reale distincte, rezultă că x + y = 0 - 3p

A(n) + nI₂ = ⎛  2n   2 − n⎞
             ⎝n − 1    3  ⎠,

N = det(A(n) + nI₂) = n² + 3n + 2 = - 2p = (n + 1)(n + 2) și, cum pentru orice număr natural n, numerele n + 1 și n + 2 sunt naturale consecutive, obținem că N este număr natural par, pentru orice număr natural n - 3p

B(n) · B(−n) = ⎛10 − n²     0   ⎞
               ⎝   0     10 − n²⎠,

pentru orice număr natural n - 3p

⎛10 − n²     0   ⎞ = ⎛2p   0⎞
⎝   0     10 − n²⎠   ⎝ 0  2p⎠

și, cum n și p sunt numere naturale, obținem perechile (0, 5) și (2, 3) - 2p

5. A(a) + aI₂ = [[2a − 1, a], [a, 2a + 1]] ⇒ det(A(a) + aI₂) = 3a² − 1, pentru orice număr real a - 3p 3a² − 1 = 11, de unde obținem a = −2 sau a = 2 - 2p

B(x) + I₂ = [2x+1 3x+1; 1−x 2], A·(B(x) + I₂) = [1−x 2; 0 0], pentru orice număr real x - 3p B(x)·A = [0 2x; 0 1−x], deci [1−x 2; 0 0] = [0 2x; 0 1−x], de unde obținem x = 1 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al III-lea / 5.

A·A = ⎛10   3⎞
      ⎝ 3  13⎠ - 2p
⎛10   3⎞ = ⎛a + 1    3  ⎞
⎝ 3  13⎠   ⎝  3    a + 4⎠,

de unde obținem a = 9 - 3p

X(m) · X(n) = (I₂ + mA)(I₂ + nA) = I₂ + mA + nA + mnA = - 3p = I₂ + (m + n + mn)A = X(m + n + mn), pentru orice numere reale m și n - 2p

C = ⎛ 0  −6⎞
    ⎝−4  −2⎠ - 3p

det C = −24 ≠ 0, deci matricea C este inversabilă - 2p

5.

B(log₂ x) − B(log₄ x) = ⎛log₂ x − log₄ x         0        ⎞
                       ⎝       0         log₂ x − log₄ x⎠,

pentru orice număr real pozitiv x - 2p log₂ x − log₄ x = 1 ⇒ log₂ x = 2, de unde obținem x = 4 care convine - 3p

5.

M(k + 2) = ⎛k + 2    2  ⎞
           ⎝  2    k + 2⎠

⇒ det(M(k + 2)) = (k + 2)² − 4 = k² + 4k - 3p k² + 4k ≤ 0 și k număr natural, obținem k = 0 - 2p

A·M = [[2x + 3y, 3x + 2y], [x − 2y, −2x + y]], M·A = [[2x + y, 3x − 2y], [x + 2y, −2x + 3y]] - 3p 2x + 3y = 2x + y ⇒ y = 0 care verifică - 2p

SUBIECTUL al III-lea, 5.

B = A(m) + A(m²) = ⎛  6     m + m²⎞ ⇒ det B = 36 − (m + m²)², pentru orice număr natural m - 2p
                  ⎝m + m²     6  ⎠

Matricea B nu este inversabilă ⇔ det B = 0, deci (m + m²)² = 36 și, cum m este număr natural, obținem m = 2 - 3p

A · M = ⎛x + 3z   y + 3t⎞
        ⎝−x + z   −y + t⎠,
M · A = ⎛x − y   3x + y⎞
        ⎝z − t   3z + t⎠,

unde x, y, z și t sunt numere reale - 2p A · M = M · A ⇒ 3z = −y și t = x, de unde obținem x + y + 3z − t = x + y − y − x = 0 - 3p