Subiectul al III-lea, 5., toate variantele

SUBIECTUL al III-lea

5. a) DN ∥ AT, DN = AT = 5 cm ⇒ ATND este paralelogram - 1p P_ATND = 2 · AT + 2 · AD = 2 · 5 + 2 · 8 = 26 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) ST linie mijlocie în triunghiul ABM ⇒ ST = 2 cm, deci SN = 6 cm, unde AM ∩ NT = {S} - 1p SN ∥ BM ⇒ △QNS ∼ △QBM ⇒ QS/QM = SN/MB = 3/2 ⇒ SM/QM = 5/2 - 1p Cum AM = 2 · SM ⇒ AM/QM = 5, de unde obținem AQ/QM = 4 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) △ABC este dreptunghic isoscel, deci ∠ACB = 45° - 1p △BCQ este dreptunghic isoscel ⇒ ∠BCQ = 45°, deci ∠ACQ = ∠ACB + ∠BCQ = 90° - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) ∠DOC = ∠OCQ = 90° ⇒ DO ∥ CQ, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD - 1p △OCB ≡ △QCB, deci CO = CQ și CO = DO, deci DO = CQ și, cum DO ∥ CQ, obținem că DOQC este paralelogram - 1p OT = TC = CO/2, AT = AO + OT = CO + CO/2 = 3 · CO/2 = 3 · TC - 1p

5. a) CN ⟂ AB, N ∈ AB, deci CN = 4 cm și NB = 4 cm - 1p BC = √(CN² + BN²) = 4√2 cm - 1p

5. b) DM ∥ AB ⇒ ΔDPM ∼ ΔBPA ⇒ PM/PA = DM/BA = 1/4 - 1p EF ⟂ AB, P ∈ EF, E ∈ CD, F ∈ AB, ΔPME ∼ ΔPAF ⇒ PE/PF = PM/PA = 1/4, de unde obținem că PF = 16/5 cm, deci 𝒜_ΔAPB = (AB · PF)/2 = 64/5 cm² - 1p 𝒜_ABCM = 20 cm², deci 𝒜_MPBC = 𝒜_ABCM − 𝒜_ΔAPB = 36/5 = 7,2 cm² - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) CD este diametru, deci arcul CD = 180° - 1p ∢CMD = ½·arcul CD = 90° - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) cos(∢NDO) = OD/ND, cos(∢MDC) = MD/CD, deci OD/ND = MD/CD - 1p ND = 8 cm, MD = 12 cm ⇒ OD/8 = 12/(2·OD) ⇒ OD = 4√3 cm - 1p ON = √(DN² − OD²) = 4 cm și obținem 𝒜△DON = (ON·OD)/2 = 8√3 cm² - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) Triunghiul ABC este dreptunghic, deci BC² = AC² − AB², de unde obținem BC = 3√10 cm - 1p 𝒜_ABCD = AB · BC = 9√10 · 3√10 = 270 cm² - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) ΔMCE ≡ ΔMDA, de unde obținem ME = MA - 1p CM și EO sunt mediane în triunghiul ACE, CD ∩ EO = {P}, deci punctul P este centrul de greutate al triunghiului ACE ⇒ MP/MC = 1/3 AM și DO sunt mediane în triunghiul ACD, AM ∩ DO = {S}, deci punctul S este centrul de greutate al triunghiului ACD ⇒ MS/MA = 1/3 - 1p MP/MC = MS/MA = 1/3, ∢SMP = ∢AMC ⇒ ΔSMP ∼ ΔAMC ⇒ SP = (1/3)AC = 10 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) CD ∥ AB și DR ∥ CB ⇒ BCDR este paralelogram ⇒ BR = CD = 10 cm - 1p ∢DAR = 90°, ∢ARD = 45°, de unde obținem că triunghiul ADR este dreptunghic isoscel cu AD = AR = 10 cm ⇒ AR = RB, deci punctul R este mijlocul segmentului AB - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) CD ∥ AB, CD = AB/2 ⇒ CD este linie mijlocie în triunghiul TAB, deci punctul C este mijlocul laturii TB și punctul D este mijlocul laturii TA - 1p Triunghiul TAR dreptunghic în A ⇒ TR = √(20² + 10²) = 10√5 cm - 1p Punctul O este centrul de greutate al triunghiului TAB, deci TO = (2/3) · TR = (20√5)/3 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) △ABD este dreptunghic în A, BD = √(AB² + AD²) = - 1p = √(108 + 54) = 9√2 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) MB ∥ DC ⇒ △FBM ∼ △FDC, unde CM ∩ BD = {F}, deci FB/FD = 1/2, de unde obținem FB = 3√2 cm - 1p Cum EF = BE − BF = 3√2 cm, obținem EF = FB, deci F este mijlocul segmentului BE - 1p FM este linie mijlocie în △ABE, de unde FM ∥ AE, deci CM ∥ AE - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) AE = BF = 3 cm, unde DE ⟂ AB, E ∈ AB și CF ⟂ AB, F ∈ AB - 1p DCFE este dreptunghi, deci EF = DC = 6 cm, de unde obținem AB = 12 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) MB = MC și ∠MBC = 60°, deci ΔMBC este echilateral ⇒ ∠BMP = 30° și MB = 6 cm - 1p Triunghiul AMD este echilateral, deci ∠AMD = 60° - 1p ∠DMP = 180° − (60° + 30°) = 90°, deci DM ⟂ MP - 1p

5. a) AD = AM = (2/3) · 15 = 10 cm - 1p P_ABCD = 2(AB + AD) = 2 · 25 = 50 cm - 1p

5. b) 𝒜_△ADM = AM · d(D, AM)/2 = (8 · 10)/2 = 40 cm² - 1p ∠ADM ≡ ∠DNC, ∠DAM ≡ ∠DCN, deci △ADM ∼ △CND - 1p 𝒜_△ADM/𝒜_△NCD = (AM/CD)² = 4/9, deci 𝒜_△NCD = (9/4) · 40 = 90 cm² - 1p

5. a) MC = AC/2 = 4 cm - 1p MP ⟂ BC, ∠PMC = 30°, deci PC = MC/2 = 2 cm - 1p

5. b) PQ ⟂ AB, ∠PBQ = 60°, de unde obținem PQ = 3√3 cm - 1p QT ⟂ MP, unde T ∈ MP, ∠MPQ = 60°, deci sin(∠TPQ) = QT/QP, de unde QT = 9/2 cm - 1p MP = 2√3 cm, deci A△MPQ = (QT · MP)/2 = (9√3)/2 cm² - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) În triunghiul dreptunghic ABC, BC = √(6² + 8²) = - 1p = √(36 + 64) = 10 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) În triunghiul ABC, G centru de greutate ⇒ AG/AM = 2/3 și cum AQ/AB = 2/3 ⇒ AG/AM = AQ/AB, deci QG ∥ BM - 1p ΔAQG ∼ ΔABM ⇒ QG/BM = 2/3 ⇒ QG = 10/3 cm, ΔBQP ∼ ΔBAC ⇒ BP/BC = 1/3 ⇒ BP = 10/3 cm - 1p QG ∥ BP, QG = BP ⇒ BQGP paralelogram și P_BQGP = 32/3 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) AM ∥ DC ⇒ ΔAPM ∼ ΔCPD - 1p AP/CP = AM/CD = 1/2 ⇒ CP = 2 · AP - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) În triunghiul ABC, dreptunghic în B, AC = 3√5 cm - 1p Triunghiurile AMD și BMC sunt dreptunghice isoscele, de unde obținem ∠PMC = 90° - 1p În triunghiul dreptunghic PMC, CP = 2√5 cm, MT este mediană, deci MT = CP/2 = √5 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) CM = 6 cm, ∠ACB = ∠MCN = 60° - 1p ∠CMN = 30°, de unde obținem CN = CM/2 = 3 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) AP ∩ BC = {Q} și, cum CQ este mediatoarea segmentului AP, obținem CP = CA și ∠PCQ = ∠ACQ = 60° - 1p ∠NCP = 180° − ∠PCQ − ∠ACQ = 60°, deci ∠NCP = ∠NCM și, cum CP = CM, obținem ΔCPN ≡ ΔCMN, deci ∠CNP = ∠CNM = 90° - 1p ∠MNP = ∠CNM + ∠CNP = 180°, deci punctele M, N și P sunt coliniare - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) În triunghiul ABC dreptunghic în A, BC = √(AB² + AC²) = - 1p = √(9² + 12²) = 15 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) Punctul G este centrul de greutate a triunghiului ABC ⇒ AG/AE = 2/3 și, cum AM/AB = 2/3, obținem AG/AE = AM/AB, deci MG ∥ BE ⇒ △AMG ∼ △ABE ⇒ MG/BE = 2/3 ⇒ MG = 5 cm - 1p MR ⟂ BP, R ∈ BP ⇒ MR = 12/5 cm, PE = BE − BP și, cum E mijlocul lui BC ⇒ PE = 5/2 cm - 1p MGEP trapez ⇒ 𝒜_MGEP = ((MG + PE) · MR)/2 = 9 cm² - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) ∢MAB = 60° ⇒ ∢SAD = 30° - 1p Triunghiurile TBA și SAD sunt congruente, deci AT = DS - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) Triunghiul AMB dreptunghic și ∢ABM = 30° ⇒ AM = AB/2 = 4 cm - 1p Triunghiul AMQ dreptunghic și ∢MAD = 30° ⇒ MQ = AM/2 = 2 cm, unde MQ ⊥ AD, Q ∈ AD, de unde obținem AQ = 2√3 cm, deci DQ = 2(4 − √3) cm - 1p În triunghiul dreptunghic MDQ, DM este ipotenuză, deci DM > DQ - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) În triunghiul dreptunghic ABC, AC = √(AB² + BC²) = 4√2 cm - 1p P_△ABC = AB + AC + BC = 2√2 + 4√2 + 2√6 = 2√2(3 + √3) cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) EM mediană în triunghiul dreptunghic isoscel AEB ⇒ EM = AB/2 = √2 cm, BE bisectoarea ∠ABC, EM ⟂ AB, M ∈ AB și EN ⟂ BC, N ∈ BC, de unde obținem EM = EN = √2 cm - 1p 𝒜_△AEC = 𝒜_△ABC − 𝒜_△AEB − 𝒜_△BEC = (AB · BC)/2 − (AB · EM)/2 − (BC · EN)/2 = 2(√3 − 1) cm² - 1p 𝒜_△AEC = (AC · EP)/2, unde EP ⟂ AC, P ∈ AC, de unde EP = (√3 − 1)/√2 = (√6 − √2)/2 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea:

5. a) AB = 3AP - 1p 3AP = 15, de unde obținem AP = 5 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea:

5. b) ΔANP ∼ ΔCND ⇒ AN/CN = NP/ND = AP/CD = 1/3, deci AN = AC/4 și, cum AO = AC/2, obținem AN = NO - 1p PS ⟂ AN, S ∈ AN și DV ⟂ NO, V ∈ NO și, cum ΔSNP ∼ ΔVND, obținem PS/DV = NP/ND = 1/3 - 1p 𝒜(ΔANP)/𝒜(ΔDNO) = (AN·PS/2)/(NO·DV/2) = (AN/NO)·(PS/DV) = 1/3 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) CM ⟂ AB, M ∈ AB ⇒ CM = AD = 2 cm - 1p ∢MBC = 30° ⇒ BC = 2CM = 4 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) BC = AB, de unde obținem ∢CAB = 75° - 1p ∢CAE = 120°, BE = BG, ∢EBG = 150° ⇒ ∢BEG = 15°, de unde obținem ∢AEG = 60°, deci ∢CAE + ∢AEG = 180° ⇒ AC ∥ EG - 1p ABEF, CBGH pătrate cu AB = BC ⇒ AE = CG și, cum AC ∥ EG și AE ∦ CG ⇒ AEGC trapez isoscel - 1p

5. a) RT este linie mijlocie în trapezul ABCD - 1p RT = (AB + CD)/2 = 5 cm - 1p

5. b) DQ ⟂ AB, Q ∈ AB, 𝒜_ABCD = RT · DQ - 1p 𝒜_△DRT = (DP · RT)/2 și 𝒜_△RST = (QP · RT)/2, unde {P} = DQ ∩ RT - 1p 𝒜_DRST = 𝒜_△DRT + 𝒜_△RST = (DP · RT)/2 + (QP · RT)/2 = (RT · DQ)/2 = 𝒜_ABCD/2 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) Triunghiul ABE este dreptunghic isoscel, deci ∠BAE = 45° - 1p ∠DAE = ∠DAB + ∠BAE = 90°, deci dreapta DA este perpendiculară pe dreapta AE - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) BC ∩ AE = {N}, DA ∥ BN, DA ⊥ AE ⇒ BN ⊥ AE - 1p În triunghiul dreptunghic isoscel ABE, AE = 10√2 cm, BN înălțime ⇒ BN mediană, deci BN = AE/2 = AN = 5√2 cm - 1p În triunghiul dreptunghic ACN, tg(∠CAE) = CN/AN = (10 + 5√2)/(5√2) = √2 + 1 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) Triunghiul ABC este isoscel, AM mediană, deci AM este înălțime și bisectoare - 1p Triunghiul AMC este dreptunghic în M, sin(∢CAM) = CM/AC, de unde obținem CM = 5√3 cm, deci BC = 10√3 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) Triunghiul SMC este dreptunghic în M, SC² = MC² + MS², deci SC = 5√7 cm - 1p MT ⟂ CS, unde T ∈ SC, deci d(M, SC) = MT = (SM · MC)/SC = (10√21)/7 cm - 1p Cum (10√21)/7 < 7 ⇔ 10√21 < 49 ⇔ 2100 < 2401, obținem MT < 7 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) AM = MC ⇒ ∠AMN = 2 · ∠ACM = 30° - 1p cos(∠AMN) = MN/AM ⇒ MN = (BC/2) · cos 30° = 5√3 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) AMPQ este paralelogram și AP ⊥ MQ, deci AMPQ este romb - 1p AN = AM/2 = BC/4 = 5 cm - 1p 𝒜_AMPQ = (AP · MQ)/2 = (2AN · 2MN)/2 = 50√3 cm² - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) În triunghiul dreptunghic ABG, AB² = AG² + BG² ⇒ AB = 5 cm - 1p P△ABG = 3 + 4 + 5 = 12 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) Pentru AG ∩ BC = {P} ⇒ AP mediană în triunghiul ABC - 1p GP = AG/2 ⇒ GP = 2 cm - 1p În triunghiul dreptunghic PGB, BP² = BG² + PG² ⇒ BP = √13 cm, de unde BC = 2√13 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) AC = √(6² + 6²) = - 1p = 6√2 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) În triunghiul echilateral BPQ, ∠BCP = 90° ⇒ BC este înălțime - 1p PQ = 4√3 cm - 1p 𝒜_ABQP = ((AB + PQ)·BC)/2 = ((6 + 4√3)·6)/2 = 6(3 + 2√3) cm² - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) △ABC dreptunghic în A, AE ⟂ BC, E ∈ BC, deci AC² = EC·BC - 1p 6² = 4·BC ⇒ BC = 9 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) AB = 3√5 cm - 1p P_ABC = 3(5 + √5) cm și, cum 3√5 < 7, obținem că P_△ABC < 22 cm - 2p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) BC = √(AB² + AC²) = 13 cm - 1p sin(∠ACB) = AB/BC = 5/13 - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) DC = (3/4)AC = 9 cm - 1p ΔACB ∼ ΔECD ⇒ BC/CD = AB/DE ⇒ DE = 45/13 cm și, cum 45/13 < 3,5 ⇒ DE < 3,5 cm - 2p

SUBIECTUL al III-lea

5. a) AD = 4k, CD = 3k, unde k este număr real pozitiv - 1p Cum AD² + CD² = AC² ⇒ k = 8, deci AD = 32 cm - 1p

SUBIECTUL al III-lea

5. b) AD² = CD · BD ⇒ BD = 128/3 cm, deci BC = 200/3 cm - 1p AB² = BD · BC, deci AB = 160/3 cm - 1p P△ABC = AC + AB + BC = 40 + 160/3 + 200/3 = 160 cm - 1p