Subiectul al II-lea, 2., toate variantele

2. a) f = X³ − 4X² + 5X − 2 ⇒ f(1) = 1³ − 4·1² + 5·1 − 2 = - 3p = 1 − 4 + 5 − 2 = 0 - 2p

2. b) x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 3, x₁x₂x₃ = 2 - 2p x₁x₂x₃ + 2x₁x₂ + 2x₁x₃ + 2x₂x₃ = x₁x₂x₃ + 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = 2 + 2·3 = 8 - 3p

2. c) g(−2) = −5, f(3) = 3a − 11, pentru orice număr real a - 3p 3a − 11 = −5, de unde obținem a = 2 - 2p

0 ∗ 3 = (4 − 0)(4 − 3) + 2 = - 3p. = 4 + 2 = 6 - 2p.

2 ∗ x = −2x + 10, pentru orice număr real x - 3p. −2x + 10 = 2, de unde obținem x = 4 - 2p.

(2m) ∗ (2n + 1) = (4 − 2m)(3 − 2n) + 2 - 2p (4 − 2m)(3 − 2n) = 8 și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile (−2, 1) și (6, 2) - 3p

0 ∗ 1 = 0 · 1 − 8 · 0 − 8 · 1 + 8 = - 3p = 0 − 0 − 8 + 8 = 0 - 2p

x ∗ 2 = −6x − 8, pentru orice număr real x - 3p −6x − 8 = 2x, de unde obținem x = −1 - 2p

(8 + m) ∗ (8 + n) = mn − 56, pentru orice numere naturale m și n - 2p mn − 56 = 2 ⇔ mn = 58 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, obținem perechile (1, 58) și (2, 29) - 3p

2.a) f = X³ − 3X² + X + 1 ⇒ f(1) = 1³ − 3·1² + 1 + 1 = - 3p = 1 − 3 + 1 + 1 = 0 - 2p

b) x₁ + x₂ + x₃ = 3, x₁x₂x₃ = −m, deci 2·3 = 1 − m - 3p m = −5 - 2p

c) f(2) = −2 + m, deci −2 + m = −5, de unde obținem m = −3 - 3p f = X³ − 3X² + X − 3 = (X − 3)(X² + 1), de unde rezultă că polinomul f este divizibil cu X² + 1 - 2p

f(1) = 1³+m·1²−1−m = - 3p = 1+m−1−m = 0, pentru orice număr real m - 2p

f = X³−3X²−X+3 ⇒ f(3) = 3³−3·3²−3+3 = - 3p = 27−27−3+3 = 0, deci 3 este rădăcină a polinomului f - 2p

x₁+x₂+x₃ = −m, x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ = −1, x₁x₂x₃ = m, pentru orice număr real m - 3p 1−m² = 1, de unde obținem m = 0 - 2p

f(0) = 0³ − 3·0² + m·0 − 1 = - 3p = 0 − 0 + 0 − 1 = −1, pentru orice număr real m - 2p

x₁ + x₂ + x₃ = 3 - 2p x₁x₂x₃ = 1, de unde obținem x₁ + x₂ + x₃ = 3x₁x₂x₃, pentru orice număr real m - 3p

f(1) = 1³ − 3·1² + m·1 − 1 = 1 − 3 + m − 1 = m − 3, pentru orice număr real m - 2p f(1) = 0, de unde obținem m = 3 - 3p

2.a) 1 ∘ 3 = 2(1 + 3) − 1·3 − 4 = - 3p = 8 − 3 − 4 = 1 - 2p

b) y ∘ x = 2(y + x) − yx − 4 = - 2p = 2(x + y) − xy − 4 = x ∘ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 3p

c) n ∘ n = 4n − n² − 4, pentru orice număr natural n - 2p 4n − n² − 4 ≥ n − 2 ⇔ −n² + 3n − 2 ≥ 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 1 și n = 2 - 3p

2.a) f(0) = 0³ + m·0² + 2·0 − 5 = - 3p = 0 + 0 + 0 − 5 = −5, pentru orice număr real m - 2p

2.b) f(1) = 0 ⇒ 1³ + m·1² + 2·1 − 5 = 0 - 3p m − 2 = 0, de unde obținem m = 2 - 2p

2.c) x₁ + x₂ + x₃ = −m, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 2 - 2p x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = m² − 4, deci m² − 4 = 5 și, cum m este număr natural, obținem m = 3 - 3p

f(0) = 0³ + 3 · 0² + m · 0 − 4 = - 3p = 0 + 0 + 0 − 4 = −4, pentru orice număr real m - 2p

f(−1) = −m − 2, pentru orice număr real m - 2p f(−1) = 0, de unde obținem m = −2 - 3p

x₁ + x₂ + x₃ = −3, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = m, x₁² + x₂² + x₃² = 9 − 2m, pentru orice număr natural m - 3p 9 − 2m > 5 și, cum m este număr natural, obținem m = 0 sau m = 1 - 2p

2.a) 5 ∗ 4 = (5 − 4)(4 − 4) + 4 = - 3p = 1 · 0 + 4 = 4 - 2p

b) x ∗ 6 = 2x − 4, pentru orice număr real x - 3p 2x − 4 = 6x, de unde obținem x = −1 - 2p

c) (4/n − 4)(n − 4) + 4 > 4 ⇔ (1/n − 1)(n − 4) > 0, unde n este număr natural nenul - 2p Cum n este număr natural nenul, obținem n = 2 și n = 3 - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 2. a) 1∗1 = 1·1 + 2·1 − 1 − 1 = - 3p = 1 + 2 − 1 − 1 = 1 - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 2. b) x∗2 = 4x − 3, pentru orice număr real x - 3p 4x − 3 = x, de unde obținem x = 1 - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 2. c) (1 − x)∗x = −x² − 2x − 1 + 2 = - 3p = −(x + 1)² + 2 ≤ 2, pentru orice număr real x - 2p

2.a) 1 ∘ 1 = 1 + 1 − 6·1·1 = 3p = 2 − 6 = −4 2p

b) 0 ∘ x = 0 + x − 6·0·x = 0 + x − 0 = x, pentru orice număr real x 2p x ∘ 0 = x + 0 − 6·x·0 = x + 0 − 0 = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” 3p

c) m ∘ (3 − m) = 3 − 6m(3 − m), pentru orice număr întreg m 2p 3 − 6m(3 − m) < 3 ⇔ m(m − 3) < 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = 1 și m = 2 3p

1 ∗ 1 = (1 + 2·1)(1 + 2·1) + 2 = - 3p = 3·3 + 2 = 11 - 2p

x ∗ 0 = 2x² + 2, pentru orice număr real x, deci 2x² + 2 = 4 - 3p x² − 1 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 2p

x ∗ (1/x) = (x + 2/x)(1/x + 2x) + 2 = 1 + 2x² + 2/x² + 4 + 2 = - 3p = 2(x² + 1/x²) + 7 > 7, pentru orice număr real nenul x - 2p

2.a) 2 ∗ 3 = 2·3(2 + 3 − 4) = 3p = 6·1 = 6 2p

b) 1 ∗ x = x² − 3x, pentru orice număr real x 2p x² − 3x − 4 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 4 3p

c) 2ˣ ∗ 2ˣ = 2²ˣ(2ˣ + 2ˣ − 4), pentru orice număr real x 2p 2²ˣ(2ˣ + 2ˣ − 4) = 2³ˣ ⇔ 2ˣ + 2ˣ − 4 = 2ˣ ⇔ 2ˣ = 4, de unde obținem x = 2 3p

2.a) 1∗3=3−(1−3)(3−3)= - 3p =3−0=3 - 2p

b) x∗2=3−(x−3)(2−3)=3+x−3=x, pentru orice număr real x - 2p 2∗x=3−(2−3)(x−3)=3+x−3=x, pentru orice număr real x, deci e=2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

c) x∗(x+6)=3−(x−3)(x+3), pentru orice număr real x - 2p 3−(x−3)(x+3)≥3 ⇔ (x−3)(x+3)≤0, de unde obținem x∈[−3,3] - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 2. a) 3 ∘ 4 = 3·3 + 4·4 − 25 = - 3p = 25 − 25 = 0 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 2. b) (2x) ∘ x = 10x − 25, pentru orice număr real x - 3p 10x − 25 = 5, de unde obținem x = 3 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 2. c) m² ∘ 1 = 3m² − 21 și 1 ∘ m² = 4m² − 22, pentru orice număr întreg m - 2p 3m² − 21 ≥ 4m² − 22 ⇔ −m² + 1 ≥ 0, deci m ∈ [−1, 1] și, cum m este număr întreg, obținem m = −1 sau m = 0 sau m = 1 - 3p

2.a) 1 ∘ 2 = 1 · 2 + 4(1 + 2) = - 3p = 2 + 12 = 14 - 2p

b) x ∘ 3 = 7x + 12, pentru orice număr real x - 3p 7x + 12 = x, de unde obținem x = −2 - 2p

c) 2ˣ ∘ 4 = 2ˣ · 4 + 4(2ˣ + 4) = 8 · 2ˣ + 16, pentru orice număr real x - 2p 8 · 2ˣ + 16 = 2^(x+4) ⇔ 2^(x+3) = 2⁴, de unde obținem x = 1 - 3p

2 ∗ 5 = 2 · 5 − 3 · 2 − 3 · 5 + 12 = - 3p = 10 − 6 − 15 + 12 = 1 - 2p

x ∗ 4 = 4x − 3x − 12 + 12 = x, pentru orice număr real x - 2p 4 ∗ x = 4x − 12 − 3x + 12 = x, pentru orice număr real x, deci e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

(a − x) ∗ (a − x) = (a − x)² − 6(a − x) + 12, (a + x) ∗ (a + x) = (a + x)² − 6(a + x) + 12, pentru orice număr real x - 2p (a − x)² − 6(a − x) + 12 = (a + x)² − 6(a + x) + 12, deci 4x(a − 3) = 0, pentru orice număr real x, de unde obținem a = 3 - 3p

2 ∗ 3 = 2 + 3 − 2·3 + 1 = - 3p = 2 + 3 − 6 + 1 = 0 - 2p

x ∗ 5 = −4x + 6, pentru orice număr real x - 3p −4x + 6 = 10, de unde obținem x = −1 - 2p

N = (3/n) ∗ (3 + n) = −6/n + n + 1, pentru orice număr natural nenul n - 2p N și n sunt numere naturale, de unde obținem n = 2, n = 3 și n = 6 - 3p

1 ∘ (−3) = 1 − 3 + 6 = - 3p = 4 - 2p

x ∘ 2 = x + 2 + 6 = x + 8, pentru orice număr real x - 3p x + 8 = 3x, de unde obținem x = 4 - 2p

(x² + 2) ∘ (1 − 6x) = x² − 6x + 9, pentru orice număr real x - 2p x² − 6x + 9 = (x − 3)² ≥ 0, pentru orice număr real x - 3p

2. a) 0 ∗ 2 = 0 · 2 − 2 · 0 − 2 · 2 + 6 = - 3p = 0 − 0 − 4 + 6 = 2 - 2p

2. b) x ∗ (2x) = 2x² − 6x + 6, pentru orice număr real x - 2p 2x² − 6x + 6 = 6, deci 2x² − 6x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 3 - 3p

2. c) x ∗ 4 = 4 ∗ x = 3, de unde obținem 4x − 2x − 8 + 6 = 3 - 3p x = 5/2 - 2p

2.a) 1 ∘ 0 = 2·1·0 − 3(1 + 0) + 1 = 3p = 0 − 3 + 1 = −2 2p

b) y ∘ x = 2yx − 3(y + x) + 1 = 2p = 2xy − 3(x + y) + 1 = x ∘ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă 3p

c) x ∘ (−2x) = −4x² + 3x + 1, pentru orice număr real x 2p −4x² + 3x + 1 ≥ 0, de unde obținem x ∈ [−1/4, 1] 3p

2.a) 2 ∘ 3 = 2·3 − 2 − 3 + 2 = - 3p = 6 − 2 − 3 + 2 = 3 - 2p

b) x ∘ 4 = x·4 − x − 4 + 2 = 3x − 2, pentru orice număr real x - 3p 3x − 2 = x + 6, de unde obținem x = 4 - 2p

c) (x − 2) ∘ (x + 2) = x² − 2x − 2 = - 2p = (x − 1)² − 3 ≥ −3, pentru orice număr real x - 3p

2.a) 2 ∘ 1 = 2 · 2 + 2 · 1 − 1 = - 3p = 4 + 2 − 1 = 5 - 2p

2.b) x ∘ (x + 1) = 2x + 2(x + 1) − 1 = 4x + 1, pentru orice număr real x - 3p 4x + 1 = 5, de unde obținem x = 1 - 2p

2.c) x ∘ x = 4x − 1, pentru orice număr real x - 2p 4x − 1 = −4x² + 4x − 1 + 4x² = −(2x − 1)² + 4x² ≤ 4x², pentru orice număr real x - 3p

2. a) f = X³ + X² + X − 4 ⇒ f(2) = 2³ + 2² + 2 − 4 = - 3p = 8 + 4 + 2 − 4 = 10 - 2p

2. b) f = X³ + X² − 4X − 4 ⇒ f = (X + 1)(X − 2)(X + 2) - 2p Rădăcinile polinomului f sunt −2, −1 și 2 - 3p

2. c) x₁ + x₂ + x₃ = −1, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = m ⇒ x₁² + x₂² + x₃² = 1 − 2m, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f - 3p Cum m este număr natural nenul, obținem x₁² + x₂² + x₃² < 0, deci polinomul f nu are toate rădăcinile reale - 2p

2.a) 1 ∗ 2 = 4 · 1 · 2 − 3 · 1 + 2 · 2 − 1 = - 3p = 8 − 3 + 4 − 1 = 8 - 2p

2.b) x ∗ (−1) = −7x − 3, pentru orice număr real x - 2p −7x − 3 = 4 ⇒ −7x = 7, de unde obținem x = −1 - 3p

2.c) 4ax − 3x + 2a − 1 = −x ⇒ 4ax − 2x + 2a − 1 = 0 ⇒ 2x(2a − 1) + 2a − 1 = 0, pentru orice număr real x - 3p a = 1/2 - 2p

f = X³ − 2X² − 2X + 3 ⇒ f(1) = 1³ − 2·1² − 2·1 + 3 = - 3p = 1 − 2 − 2 + 3 = 0 - 2p

x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = −2 și x₁x₂x₃ = −m ⇒ x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ + x₁x₂x₃ = −2 − m - 3p −2 − m = 1, de unde obținem m = −3 - 2p

f(−2) = m − 12, pentru orice număr real m - 2p m − 12 = 0, de unde obținem m = 12 - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 2. a) 1 ∗ 2 = (1 · 2 + 1)(1 + 2) = - 3p = 3 · 3 = 9 - 2p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 2. b) x ∗ 0 = (x · 0 + 1)(x + 0) = 1 · x = x, pentru orice număr real x - 2p 0 ∗ x = (0 · x + 1)(0 + x) = 1 · x = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

Reguli generale:

SUBIECTUL al II-lea, 2. c) N = 2(n + 1/n) = 2n + 2/n, pentru orice număr natural nenul n - 2p N este număr întreg, deci 2/n este număr întreg și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 1 sau n = 2 - 3p

2 ∗ 1 = (2 + 1)(2 − 1)(1 − 1) + 1 = - 3p = 3·1·0 + 1 = 1 - 2p

x ∗ y = (x + y)(x − 1)(y − 1) + 1 = - 2p = (y + x)(y − 1)(x − 1) + 1 = y ∗ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 3p

n ∗ (1 − n) = −n² + n + 1, pentru orice număr natural n - 2p −n² + n + 1 ≥ n² ⇔ 2n² − n − 1 ≤ 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 sau n = 1 - 3p

2.a) 3 ∘ 2 = 4 · 3 · 2 + 3 + 2 = - 3p = 24 + 5 = 29 - 2p

b) x ∘ y = (16xy + 4x + 4y)/4 = (16xy + 4x + 4y + 1 − 1)/4 = - 3p = (4x(4y + 1) + (4y + 1) − 1)/4 = ((4x + 1)(4y + 1) − 1)/4, pentru orice numere reale x și y - 2p

c) x ∘ x = ((4x + 1)² − 1)/4, pentru orice număr real x - 2p ((4x + 1)² − 1)/4 ≤ 2 ⇔ (4x + 1)² ≤ 9 ⇔ −3 ≤ 4x + 1 ≤ 3, de unde obținem x ∈ [−1, 1/2] - 3p

2.a) 1 * 2 = 1 + 2 + 1² · 2² = - 3p = 1 + 2 + 4 = 7 - 2p

b) x * 0 = x + 0 + 0 = x, pentru orice număr real x - 2p 0 * x = 0 + x + 0 = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „*” - 3p

c) −2 + x + 4x² ≤ 3, deci 4x² + x − 5 ≤ 0 - 2p x ∈ [−5/4, 1] și, cum x este număr întreg, obținem x = −1 sau x = 0 sau x = 1 - 3p

2 ∗ 4 = 2(4 − 2) + 4(2 − 2) = 2·2 + 4·0 = - 3p = 4 + 0 = 4 - 2p

x ∗ x = x(x − 2) + x(x − 2) = 2x(x − 2), pentru orice număr real x - 3p 2x(x − 2) = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 2 - 2p

x ∗ 1 = −2, deci (x ∗ 1) ∗ (x + 1) = (−2) ∗ (x + 1) = −6x − 2, pentru orice număr real x - 3p −6x − 2 = 4, de unde obținem x = −1 - 2p