Subiectul al II-lea, 2., toate variantele

2.a) 1 ∘ 1 = 1² − 1·1 − 1 + 2·1 + 1 = - 3p = 1 − 1 − 1 + 2 + 1 = 2 - 2p

b) x ∘ (2x) = −x² + 3x + 1, pentru orice număr real x - 2p −x² + 3x + 1 = 1, deci −x² + 3x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 3 - 3p

c) m ∘ n = m² − mn − m + 2n + 1, deci m² − mn − 2m + 2n = −1 - 2p (m − 2)(m − n) = −1 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (1, 0) și (3, 4) - 3p

Reguli generale:

2. a) f(1) = 1³ − a·1 + 2 + a = - 3p = 1 + 2 = 3, pentru orice număr real a - 2p

f(−2) = 3a − 6, pentru orice număr real a - 3p 3a − 6 = 0, de unde obținem a = 2 - 2p

x₁ + x₂ + x₃ = 0, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = −a, pentru orice număr real a - 2p f(x₁) = 0, f(x₂) = 0, f(x₃) = 0, de unde rezultă x₁³ + x₂³ + x₃³ = −3a − 6, deci −3a − 6 = −a, de unde obținem a = −3 - 3p

f = X³ − 3X² − 3X + 1 ⇒ f(−1) = (−1)³ − 3·(−1)² − 3·(−1) + 1 = - 3p = −1 − 3 + 3 + 1 = 0 - 2p

x₁ + x₂ + x₃ = 3, x₁x₂x₃ = −a ⇒ 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ − x₁x₂x₃ = 9 + a, pentru orice număr real a - 3p 9 + a = 3, de unde obținem a = −6 - 2p

f = X³ − 3X² − 3X + 9 = (X − 3)(X² − 3) - 2p Rădăcinile polinomului sunt x₁ = 3, x₂ = −√3 și x₃ = √3 - 3p

2.a) 1 ∗ 4 = 1 + 4 − √(1 · 4) = - 3p = 5 − 2 = 3 - 2p

b) x ∗ (9x) = x + 9x − √(9x²) = 7x, pentru orice x ∈ M - 2p 7x = x², de unde obținem x = 0 sau x = 7, care convin - 3p

c) 2ˣ ∗ 2⁽ˣ⁺²⁾ = 2ˣ + 2⁽ˣ⁺²⁾ − 2⁽ˣ⁺¹⁾ = 2ˣ · 3, pentru orice număr real x - 3p 2ˣ · 3 = 6ˣ, deci 3ˣ = 3, de unde obținem x = 1 - 2p

2.a) 1 ∘ 5 = ¼(1+1)(5+1)−1 = - 3p = 3−1 = 2 - 2p

b) x ∘ 3 = ¼(x+1)(3+1)−1 = x+1−1 = x, pentru orice număr real x - 2p 3 ∘ x = ¼(3+1)(x+1)−1 = x+1−1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

c) ¼(m+1)(n+1)−1 = 3 ⇔ (m+1)(n+1) = 16 - 2p Cum m și n sunt numere naturale, cu m ≤ n, obținem perechile (0,15), (1,7) și (3,3) - 3p

2.a) f = X³ + 6X² − 2X − 4 ⇒ f(1) = 1³ + 6 · 1² − 2 · 1 − 4 = - 3p = 1 + 6 − 2 − 4 = 1 - 2p

b) x₁ + x₂ + x₃ = −m, x₁x₂x₃ = 4 - 2p 16 = −m + 4, de unde obținem m = −12 - 3p

c) f(2) = 8 ⇒ 4m = 8, de unde obținem m = 2 - 2p f = X³ + 2X² − 2X − 4 = (X + 2)(X − √2)(X + √2), deci rădăcinile polinomului f sunt −2, −√2 și √2 - 3p

2.a) 2 ∗ 2 = 2 · 2 − 2 · 2 − 3 · 2 + 6 = - 3p = 4 − 4 − 6 + 6 = 0 - 2p

b) x ∗ 6 = 4x − 12, pentru orice număr real x - 3p 4x − 12 = x, de unde obținem x = 4 - 2p

c) 2 ∗ x = 2 − x, x ∗ (2 ∗ x) = −x² + 3x, pentru orice număr real x - 2p −x² + 3x ≥ 2 ⇔ −x² + 3x − 2 ≥ 0, de unde obținem x ∈ [1, 2] - 3p

0 ∗ 3 = (0 + 3)(4 − 0 − 3) = - 3p = 3 · 1 = 3 - 2p

x ∗ 1 = (x + 1)(3 − x), pentru orice număr real x - 2p (x + 1)(3 − x) = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 3 - 3p

(n + 5) ∗ (n − 5) = 4n(2 − n), pentru orice număr natural n - 2p Cum n și N = 4n(2 − n) sunt numere naturale, obținem n = 0, n = 1 și n = 2 - 3p

Reguli generale:

2. a) 0 ∘ 3 = 0 · 3 − 0 − 3 + 4 = - 3p = 0 − 3 + 4 = 1 - 2p

Reguli generale:

b) x ∘ x = x² − 2x + 4, pentru orice număr real x - 2p x² − 2x + 4 = 3x ⇔ x² − 5x + 4 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 4 - 3p

Reguli generale:

c) xa − x − a + 4 = x + a ⇔ xa − 2x − 2a + 4 = 0, pentru orice număr real x - 2p x(a − 2) − 2a + 4 = 0 și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real x, obținem a = 2 - 3p

0 ∘ 2 = 0² − 4 · 0 · 2 + 3 · 2² = - 3p = 0 − 0 + 12 = 12 - 2p

(2x) ∘ x = −x², pentru orice număr real x - 2p −x² = −1, de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 3p

m ∘ n = m² − mn − 3mn + 3n² = (m − n)(m − 3n), pentru orice numere întregi m și n - 2p (m − n)(m − 3n) = 3 și, cum m și n sunt numere întregi cu m < n, obținem perechile (−4, −1) și (0, 1) - 3p

2.a) f = X³ + 2X² − 3 ⇒ f(1) = 1³ + 2·1² − 3 = - 3p = 1 + 2 − 3 = 0 - 2p

b) f(−1) = (−1)³ + 2(−1)² + m·(−1) − 3 = −m − 2 - 3p −m − 2 = 0, de unde obținem m = −2 - 2p

c) (1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = f(1) = m, pentru orice număr real m - 3p x₁x₂x₃ = 3, deci m = 3 - 2p

2.a) (−1) ∘ 0 = 5 · (−1) · 0 + 10 · (−1) + 10 · 0 + 18 = - 3p = −10 + 18 = 8 - 2p

b) x ∘ y = 5xy + 10x + 10y + 20 − 2 = 5x(y + 2) + 10(y + 2) − 2 = - 3p = (5x + 10)(y + 2) − 2 = 5(x + 2)(y + 2) − 2, pentru orice numere reale x și y - 2p

c) m ∘ m = 5(m + 2)² − 2, pentru orice număr întreg m - 2p 5(m + 2)² − 2 = m ⇒ (m + 2)(5m + 9) = 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = −2 - 3p

2.a) 1 ∗ 2 = (2·1 − 1)(2·2 − 1) + 1 = - 3p = 1·3 + 1 = 4 - 2p

b) x ∗ x = 4x² − 4x + 2, pentru orice număr real x - 2p 4x² − 4x + 2 = 2 ⇒ 4x² − 4x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 1 - 3p

c) m ∗ (1 + 1/m) = (2m − 1)(1 + 2/m) + 1, pentru orice număr întreg nenul m - 2p (2m − 1)(1 + 2/m) = 0 și, cum m este număr întreg nenul, obținem m = −2 - 3p

Reguli generale:

2.a) 1 ∘ 2 = 4(1 · 2 + 1) − 3(1 + 2) = - 3p = 12 − 9 = 3 - 2p

Reguli generale:

b) a ∘ 3 = 9a − 5, deci 9a − 5 = 4, de unde obținem a = 1 - 3p a ∘ (−a) = 1 ∘ (−1) = 4(−1 + 1) − 3(1 − 1) = 0 - 2p

Reguli generale:

c) x ∘ 1 = x + 1, (x ∘ 1) ∘ (x − 1) = 4x² − 6x, pentru orice număr real x - 3p 4x² − 6x ≤ 4, de unde obținem x ∈ [−1/2,2] - 2p

(−1) ∗ (−1) = (−1)² + (−1)² + (−1) + (−1) = - 3p. = 1 + 1 − 1 − 1 = 0 - 2p.

x ∗ y = x² + x + 1/4 + y² + y + 1/4 − 1/2 = - 3p. = (x² + 2x · 1/2 + (1/2)²) + (y² + 2y · 1/2 + (1/2)²) − 1/2 = (x + 1/2)² + (y + 1/2)² − 1/2, pentru orice numere reale x și y - 2p.

x² ∗ x² ≤ 4 ⇔ 2(x² + 1/2)² − 1/2 ≤ 4 ⇔ (x² + 1/2)² ≤ 9/4, de unde obținem x² + 1/2 ≤ 3/2 - 3p. x ∈ [−1,1] - 2p.

2. a) 2 ∘ 0 = 4^(2·0) − (1 − 2 − 0) = - 3p = 1 − 1 + 2 = 2 - 2p

2. b) x ∘ (1/x) = 4^(x·(1/x)) − 1 + x + 1/x = x + 1/x + 3 = x + 1/x − 2 + 5 = - 2p = (x² + 1 − 2x)/x + 5 = (x − 1)²/x + 5 ≥ 5, pentru orice x ∈ A, x ≠ 0 - 3p

2. c) m și n sunt numere naturale impare, deci m ≥ 1 și n ≥ 1 ⇒ mn ≥ 1, de unde obținem că 4^(mn) este număr natural par - 2p m și n sunt numere naturale impare, deci m + n − 1 este număr natural impar, de unde obținem că m ∘ n = 4^(mn) + m + n − 1 este număr natural impar - 3p

2. a) f(0) = 0³ + a·0² − 2·0 + 2 = - 3p = 0 + 0 − 0 + 2 = 2, pentru orice număr real a - 2p

2. b) x₁x₂x₃ = −2, x₁ + x₂ + x₃ = −a, x₁x₂x₃(1 + x₁ + x₂ + x₃) = −2(1 − a), pentru orice număr real a - 3p −2(1 − a) = 4, de unde obținem a = 3 - 2p

2. c) f(−1) = 0, de unde obținem a = −3 - 2p f = X³ − 3X² − 2X + 2 = (X² − 2)(X − 3) − 4, deci restul împărțirii lui f la X² − 2 este −4 - 3p

2.a) 7 ∘ 8 = ⅙(7 − 5)(8 − 5) + 5 = - 3p = 1 + 5 = 6 - 2p

2.b) x ∘ (6x − 1) = x² − 6x + 10, pentru orice număr real x - 3p x² − 6x + 10 = 10, de unde obținem x = 0 sau x = 6 - 2p

2.c) n ∘ n′ = n′ ∘ n = 11, unde n′ este simetricul lui n, de unde obținem (n − 5)(n′ − 5) = 36 - 2p Cum n și n′ sunt numere naturale, n ≠ 5 și n′ este număr par, obținem n = 9, n = 17 și n = 41 - 3p

9 ∘ 8 = (9 − 6)(8 − 6) + 6 = - 3p = 6 + 6 = 12 - 2p

x ∘ 7 = (x − 6)(7 − 6) + 6 = x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x - 2p 7 ∘ x = (7 − 6)(x − 6) + 6 = x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x, deci e = 7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

x ∘ (6/x) = 6(x − 6)(1 − x)/x + 6, pentru orice număr real nenul x - 2p 6(x − 6)(1 − x)/x + 6 = 6x ⇔ x² − 4x + 3 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 3, care convin - 3p

2.a) 1 ∘ 2 = 1·3² + 2·3¹ = - 3p = 1·9 + 2·3 = 15 - 2p

b) x ∘ 0 = x·3⁰ + 0·3ˣ = x·1 = x, pentru orice număr real x - 2p 0 ∘ x = 0·3ˣ + x·3⁰ = x·1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

c) x ∘ (3x) = x·3ˣ(3²ˣ + 3), (2x) ∘ (2x) = 4x·3²ˣ, pentru orice număr real x - 2p x·3ˣ(3²ˣ + 3) = 4x·3²ˣ, deci x·3ˣ(3ˣ − 3)(3ˣ − 1) = 0 și, cum x este număr real nenul, obținem x = 1 - 3p

1 ∗ 3 = 1·3(1 + 3 − 1·3) = - 3p = 3·1 = 3 - 2p

x ∗ 2 = 2x(2 − x), pentru orice număr real x - 2p 2x(2 − x) = −x², de unde obținem x = 0 sau x = 4 - 3p

(1/(2m)) ∗ m = (2m² − m + 1)/(4m), pentru orice număr real nenul m - 2p (2m² − m + 1)/(4m) = m, deci 2m² + m − 1 = 0 și, cum m este număr întreg nenul, obținem m = −1 - 3p

1 ∘ 8 = 1 + 8 + 1 − √(1 · 8 + 1) = - 3p = 10 − 3 = 7 - 2p

x ∘ (3/x) = x + 3/x − 1, pentru orice x ∈ M - 3p x + 3/x − 1 = x, de unde obținem x = 3, care convine - 2p

n ∘ (n + 2) = n + 2, (n ∘ (n + 2)) ∘ (n + 4) = n + 4, pentru orice număr natural nenul n - 3p n + 4 > n²/2 și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 1 sau n = 2 sau n = 3 - 2p

2. a) 3 ∘ 3 = 3(3 − 2) + 3(3 − 2) = - 3p = 3 + 3 = 6 - 2p

2. b) 2 ∘ x = x² − 2x și obținem −2x = 2 - 3p x = −1 - 2p

2. c) x ∘ y = x² − 2x + y² − 2y = - 2p = x² − 2x + 1 + y² − 2y + 1 − 2 = (x − 1)² + (y − 1)² − 2 ≥ −2, pentru orice numere reale x și y - 3p

Reguli generale:

2. a) f = X³ − 3X² + 2X + 6 ⇒ f(−1) = (−1)³ − 3(−1)² + 2(−1) + 6 = - 3p = −1 − 3 − 2 + 6 = 0 - 2p

Reguli generale:

2. b) f = (X − 3)(X² + 2) + 6 + m, pentru orice număr real m - 3p f este divizibil cu polinomul g dacă 6 + m = 0, de unde obținem m = −6 - 2p

Reguli generale:

2. c) x₁ + x₂ + x₃ = 3 și x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = 2, deci x₁² + x₂² + x₃² = 5 și x₁³ + x₂³ + x₃³ = 9 − 3m, pentru orice număr real m - 3p 9 − 3m = 0, deci m = 3 - 2p

1 ∗ 2 = 1·2 + 1 + 2 − 1 + 2^(1·2) = - 3p = 4 + 4 = 8 - 2p

x ∗ 0 = x·0 + x + 0 − 1 + 2^(x·0) = x, pentru orice număr real x - 2p 0 ∗ x = 0·x + 0 + x − 1 + 2^(0·x) = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

n ∗ (−1/n) = (2n² − 3n − 2)/(2n), pentru orice număr natural nenul n - 2p (2n² − 3n − 2)/(2n) = 0 ⇒ 2n² − 3n − 2 = 0 și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 2 - 3p

√2 ∘ 0 = √2 · 0 − √2(√2 + 0 − 1) + 2 = - 3p = −2 + √2 + 2 = √2 - 2p

x² − 2 − √2(x − √2 + x + √2 − 1) + 2 = x ⇔ x² − (2√2 + 1)x + √2 = 0 - 3p x = √2 − 1 sau x = √2 + 2 - 2p

e = √2 + 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”, deci a este simetrizabil în raport cu „∘” dacă și numai dacă există a′, astfel încât a ∘ a′ = a′ ∘ a = √2 + 1 - 2p aa′ − √2(a + a′ − 1) + 2 = √2 + 1 ⇔ aa′ + 1 − √2(a + a′) = 0 deci, dacă a și a′ sunt numere raționale, obținem a + a′ = 0 și aa′ = −1, deci a = −1 sau a = 1, care convin - 3p

2 ∗ 5 = 2·5 − √((2 − 1)(5 − 1)) = - 3p = 10 − √4 = 8 - 2p

x ∗ 1 = x·1 − √((x − 1)(1 − 1)) = x, pentru orice x ∈ M - 2p 1 ∗ x = 1·x − √((1 − 1)(x − 1)) = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

((nx) ∗ y) − x(n ∗ y) = x√((n − 1)(y − 1)) − √((nx − 1)(y − 1)) = √(y − 1)·((x − 1)(nx − x − 1))/(x√(n − 1) + √(nx − 1)), pentru x, y ∈ M și n ∈ ℕ, n ≥ 2 - 2p Cum nx − x − 1 = x(n − 1) − 1 și x ≥ 1, n este număr natural, n ≥ 2, obținem nx − x − 1 ≥ 0, deci (nx) ∗ y ≥ x(n ∗ y), pentru orice x, y ∈ M și orice număr natural n, n ≥ 2 - 3p

2. a) 1 ∘ 2 = 3·1² − 5·1·2 + 2·2² = - 3p = 3 − 10 + 8 = 1 - 2p

2. b) x ∘ x = 3x² − 5x² + 2x² = - 3p = −2x² + 2x² = 0, pentru orice număr real x - 2p

2. c) 3·2²ˣ − 5·2ˣ·3ˣ + 2·3²ˣ = 0 ⇔ 3·2ˣ(2ˣ − 3ˣ) − 2·3ˣ(2ˣ − 3ˣ) = 0 ⇔ (2ˣ − 3ˣ)(3·2ˣ − 2·3ˣ) = 0 - 3p 2ˣ = 3ˣ sau 3ˣ⁻¹ = 2ˣ⁻¹, de unde obținem x = 0 sau x = 1 - 2p

2. a) 0 ∗ 2021 = log₂(2⁰ + 2²⁰²¹ − 1) = log₂(1 + 2²⁰²¹ − 1) = - 3p = log₂ 2²⁰²¹ = 2021 - 2p

b) x ∗ e = x ⇔ log₂(2ˣ + 2ᵉ − 1) = x ⇔ 2ˣ + 2ᵉ − 1 = 2ˣ, pentru orice x ∈ [0, +∞), de unde obținem 2ᵉ = 1, deci e = 0 ∈ M - 3p Cum 0 ∗ x = log₂(1 + 2ˣ − 1) = x, pentru orice x ∈ [0, +∞), obținem că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 2p

c) x ∗ (x + 1) ∗ (x + 2) = log₂(2ˣ + 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁺² − 2), x ∈ M - 3p log₂(2ˣ + 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁺² − 2) = log₂ 54 ⇒ 7·2ˣ − 2 = 54 ⇒ 2ˣ = 8, deci x = 3, care convine - 2p

2.a) 0 ∘ 1 = 0·√(1 − 1) + 1·√(1 − 0) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

b) x ∘ x = 2x√(1 − x²), pentru orice x ∈ M - 2p 2x√(1 − x²) = 0, deci x = −1, x = 0 sau x = 1, care convin - 3p

c) x ∘ √(1 − x²) = x√(1 − (1 − x²)) + √(1 − x²)·√(1 − x²) = x√(x²) + 1 − x² = x|x| + 1 − x², pentru orice x ∈ M - 3p Cum |x| = x pentru orice x ∈ [0,1], obținem x ∘ √(1 − x²) = x² + 1 − x² = 1, pentru orice x ∈ [0,1] - 2p