Subiectul al II-lea, 1., toate variantele

1. a)

A(1) = ⎛ 1  2 ⎞ ⇒ det(A(1)) = │ 1  2 │ = 1·5 − 2·2 =
       ⎝ 2  5 ⎠               │ 2  5 │ - 3p

= 5 − 4 = 1 - 2p

1. b)

A(3) = ⎛ 3  2 ⎞
       ⎝ 6  7 ⎠,
3A(3) − A(1) = ⎛ 8   4  ⎞
               ⎝ 16  16 ⎠ = - 3p
= 2⎛ 4  2 ⎞ = 2A(4)
   ⎝ 8  8 ⎠ - 2p

1. c)

A(0) = ⎛ 0  2 ⎞
       ⎝ 0  4 ⎠,

A(0)·A(x)·A(0) = (8x+16)A(0), pentru orice număr real x - 3p (8x+16)A(0) = 4xA(0), de unde obținem 8x+16 = 4x, deci x = −4 - 2p

A(4) = ⎛ 4  1 ⎞
       ⎝ 3  2 ⎠

⇒ det(A(4)) = |4 1; 3 2| = 4 · 2 − 1 · 3 = - 3p. = 8 − 3 = 5 - 2p.

A(1) = ⎛ 1  1 ⎞
       ⎝ 0  2 ⎠,
2A(1) + A(4) = ⎛ 6  3 ⎞
                ⎝ 3  6 ⎠ = - 3p.
= 3 ⎛ 2  1 ⎞ = 3A(2) - 2p.
    ⎝ 1  2 ⎠

A(−x) = ⎛ −x      1 ⎞
        ⎝ −x − 1  2 ⎠,
A(−x) · A(x) = ⎛ −x² + x − 1  −x + 2 ⎞
               ⎝ −x² + x − 2  −x + 3 ⎠,

pentru orice număr real x - 3p.

⎛ −x² + x − 1  −x + 2 ⎞ = ⎛ y      1 ⎞
⎝ −x² + x − 2  −x + 3 ⎠   ⎝ y − 1  2 ⎠,

de unde obținem x = 1 și y = −1 - 2p.

det A = │ 1  2│ = 1 · 1 − 2 · (−2) =
        │−2  1│ - 3p

= 1 + 4 = 5 - 2p

A + 3I₂ = ⎛ 1  2⎞ + ⎛3  0⎞ = ⎛ 4  2⎞ =
          ⎝−2  1⎠   ⎝0  3⎠   ⎝−2  4⎠ - 3p
= 2⎛ 2  1⎞ = 2B(1)
   ⎝−1  2⎠ - 2p

B(2x) = ⎛ 2  2x⎞
        ⎝−1  4x⎠,
B(x) · A = ⎛ 2 − 2x   4 + x ⎞
           ⎝−1 − 4x  −2 + 2x⎠,
B(2x) − B(x) · A = ⎛2x  x − 4 ⎞
                   ⎝4x  2x + 2⎠,

de unde obținem det(B(2x) − B(x) · A) = 20x, pentru orice număr real x - 3p 20x = x², de unde obținem x = 0 sau x = 20 - 2p

det A = det [5 2; 2 1] = 5·1 − 2·2 = - 3p = 5 − 4 = 1 - 2p

3A − 5I₂ = [15 6; 6 3] − [5 0; 0 5] = [10 6; 6 −2] = 2[5 3; 3 −1] = 2B - 3p 2B = xB, de unde obținem x = 2 - 2p

A·(B − A) = [2 1; 1 0], A·(B − A) + xI₂ = [2 + x 1; 1 x], det(A·(B − A) + xI₂) = x² + 2x − 1, pentru orice număr real x - 3p x² + 2x − 1 ≤ 2, deci x² + 2x − 3 ≤ 0, de unde obținem x ∈ [−3,1] - 2p

A(5) = ⎛ 2   5⎞
       ⎝−5  −2⎠ ⇒ det(A(5)) = │ 2   5│
                              │−5  −2│ = 2·(−2)−5·(−5) = - 3p

= −4+25 = 21 - 2p

A(−1) = ⎛2  −1⎞
        ⎝1  −2⎠,
2A(−1)+A(5) = ⎛ 6   3⎞
              ⎝−3  −6⎠ = - 3p
= 3⎛ 2   1⎞
   ⎝−1  −2⎠ = 3A(1) - 2p

A(−x) = ⎛2  −x⎞
        ⎝x  −2⎠ ⇒ A(x)·A(−x)−x²I₂ = ⎛ 4   −4x⎞
                                       ⎝−4x   4 ⎠, de unde obținem

det(A(x)·A(−x)−x²I₂) = 16(1−x²), pentru orice număr real x - 3p 16(1−x²) ≥ 0, de unde obținem x ∈ [−1,1] - 2p

A(0) = [[1, 0], [1, 0]] ⇒ det(A(0)) = det([[1, 0], [1, 0]]) = 1·0 − 1·0 = - 3p = 0 − 0 = 0 - 2p

A(3) + A(5) = [[1, 3], [4, 0]] + [[1, 5], [6, 0]] = [[2, 8], [10, 0]] = - 3p = 2[[1, 4], [5, 0]] = 2A(4) - 2p

A(n) + I₂ = [[1, n], [n + 1, 0]] + [[1, 0], [0, 1]] = [[2, n], [n + 1, 1]] și det(A(n) + I₂) = 2 − n(n + 1), pentru orice număr natural n - 2p n(n + 1) ≤ 2 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 și n = 1 - 3p

1.a) A(1) = ⎛ 1  0⎞
            ⎝−2  2⎠

⇒ det(A(1)) = | 1 0 | |−2 2 | = 1 · 2 − (−2) · 0 = - 3p = 2 − 0 = 2 - 2p

b) A(2) + A(0) = ⎛ 2  1⎞ + ⎛0  −1⎞ = ⎛ 2  0⎞ =
                 ⎝−4  2⎠   ⎝0   2⎠   ⎝−4  4⎠ - 3p
= 2⎛ 1  0⎞ = 2A(1) - 2p
   ⎝−2  2⎠

c) A(x) + xI₂ = ⎛ x   x − 1⎞ + ⎛x  0⎞ = ⎛ 2x   x − 1⎞
                ⎝−2x    2  ⎠   ⎝0  x⎠   ⎝−2x   2 + x⎠

și det(A(x) + xI₂) = 4x² + 2x, pentru orice număr real x - 3p 4x² + 2x − 2 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 1/2 - 2p

1.a)

det(A(1)) = │3  1│ = 3·1 − 1·1 =
            │1  1│

- 3p = 3 − 1 = 2 - 2p

b)

A(1) + A(5) = ⎛3  1⎞ + ⎛11  1⎞ = ⎛14  2⎞ =
              ⎝1  1⎠   ⎝ 1  5⎠   ⎝ 2  6⎠

- 3p

= 2⎛7  1⎞ = 2A(3)
   ⎝1  3⎠

- 2p

c) Inversa matricei A(1) este matricea

⎛ 1/2  −1/2⎞
⎝−1/2   3/2⎠

- 3p

X = ⎛7  1⎞⎛ 1/2  −1/2⎞ = ⎛ 3  −2⎞
    ⎝1  3⎠⎝−1/2   3/2⎠   ⎝−1   4⎠

- 2p

A(2) = ⎛2   5⎞
       ⎝−1  2⎠

⇒ det(A(2)) = 2 · 2 − 5 · (−1) = - 3p = 4 + 5 = 9 - 2p

A(a) + A(−a) =

⎛a   a + 3⎞ + ⎛−a  −a + 3⎞ = ⎛ 0  6⎞ =
⎝−1    2  ⎠   ⎝−1     2  ⎠   ⎝−2  4⎠

- 3p

= 2 ⎛ 0  3⎞ = 2A(0), pentru orice număr real a - 2p
    ⎝−1  2⎠

A(a) · A(−1) = ⎛−2a − 3  4a + 6⎞
               ⎝  −1       2   ⎠
⇒ A(a) · A(−1) − aI₂ = ⎛−3a − 3  4a + 6⎞
                       ⎝  −1      2 − a ⎠,

de unde obținem det(A(a) · A(−1) − aI₂) = 3a² + a, pentru orice număr real a - 3p 3a² + a = 0, de unde obținem a = −1/3 sau a = 0 - 2p

det A = |3 2; 2 1| = 3·1 − 2·2 = - 3p = 3 − 4 = −1 - 2p

2B − A = ⎛0  8⎞ − ⎛3  2⎞ = ⎛−3  6⎞ =
         ⎝8  4⎠   ⎝2  1⎠   ⎝ 6  3⎠ - 3p
= 3⎛−1  2⎞ = 3C
   ⎝ 2  1⎠ - 2p

B + 2C = ⎛−2  8⎞, A⁻¹ = ⎛−1   2⎞
         ⎝ 8  4⎠        ⎝ 2  −3⎠ - 3p

X = ½(B + 2C)·A⁻¹, de unde obținem

X = ⎛9  −14⎞
    ⎝0    2⎠ - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 1. a)

A(1) = ⎛  1   1 ⎞
       ⎝ −1   1 ⎠
⇒ det(A(1)) = │  1   1 │ = 1·1 − 1·(−1) =
              │ −1   1 │

- 3p = 1 + 1 = 2 - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 1. b)

3A(2) + A(6) = ⎛  6   3 ⎞ + ⎛  6    1 ⎞ = ⎛  12    4 ⎞ =
               ⎝ −6   0 ⎠   ⎝ −6   −4 ⎠   ⎝ −12   −4 ⎠

- 3p

= 4⎛  3    1 ⎞ = 4A(3)
   ⎝ −3   −1 ⎠

- 2p

SUBIECTUL al II-lea, 1. c)

A(x)·A(x) = ⎛ x² − x       2       ⎞
            ⎝  −2x     x² − 5x + 4 ⎠,

pentru orice număr real x - 2p

⎛ x² − x       2       ⎞ = ⎛  2x     2    ⎞
⎝  −2x     x² − 5x + 4 ⎠   ⎝ −2x   4 − 2x ⎠,

de unde obținem x = 0 sau x = 3 - 3p

1.a)

det A = │ 2  1 │ = 2·3 − 1·1 =
        │ 1  3 │

3p = 6 − 1 = 5 2p

b)

2A − B(2) = ⎛ 4  2 ⎞ − ⎛ 0  2 ⎞ = ⎛ 4  0 ⎞ =
             ⎝ 2  6 ⎠   ⎝ 2  2 ⎠   ⎝ 0  4 ⎠

3p

= 2 ⎛ 2  0 ⎞ = 2B(0)
    ⎝ 0  2 ⎠

2p

c)

B(1) = ⎛ 1  1 ⎞ ⇒ B(x)·B(1) − (x + 1)A =
       ⎝ 1  2 ⎠
= ⎛   2    x + 2 ⎞ − ⎛ 2x + 2   x + 1 ⎞ = ⎛ −2x     1    ⎞
  ⎝ x + 2  x + 4 ⎠   ⎝  x + 1  3x + 3 ⎠   ⎝   1   1 − 2x ⎠

și det(B(x)·B(1) − (x + 1)A) = 4x² − 2x − 1, pentru orice număr real x 3p 4x² − 2x − 1 = 1 ⇔ 2x² − x − 1 = 0, de unde obținem x = −1/2 sau x = 1 2p

1.a) det A = │2  1│
            │4  3│ = 2 · 3 − 1 · 4 = - 3p

= 6 − 4 = 2 - 2p

b) 2B = ⎛4  −4⎞
         ⎝2   6⎠
⇒ A + 2B = ⎛6  −3⎞
           ⎝6   9⎠ = - 3p
= 3⎛2  −1⎞
   ⎝2   3⎠ = 3C - 2p

c) B · C + x(A − C) = ⎛0       −8 + 2x⎞
                      ⎝8 + 2x   8     ⎠,

deci det(B · C + x(A − C)) = (8 + 2x)(8 − 2x), pentru orice număr real x - 3p (8 + 2x)(8 − 2x) = 0, de unde obținem x = −4 sau x = 4 - 2p

1.a)

det A = │7  3│ = 7·1 − 3·3 =
        │3  1│

3p = 7 − 9 = −2 2p

b)

A − 4I₂ = ⎛7  3⎞ − ⎛4  0⎞ = ⎛3   3⎞ =
          ⎝3  1⎠   ⎝0  4⎠   ⎝3  −3⎠

3p

= 3⎛1   1⎞ = 3B
   ⎝1  −1⎠

2p

c)

X·(I₂ + B) = A și, cum I₂ + B = ⎛2  1⎞
                               ⎝1  0⎠

și det(I₂ + B) ≠ 0, obținem X = A·(I₂ + B)⁻¹ 2p

(I₂ + B)⁻¹ = ⎛0   1⎞, de unde obținem X = ⎛3  1⎞
             ⎝1  −2⎠                      ⎝1  1⎠

3p

det A = | 3 −2 | | 2 1 | = 3·1 − (−2)·2 = - 3p = 3 + 4 = 7 - 2p

2B + I₂ = 2 ⎛ 4  −3 ⎞ + ⎛ 1  0 ⎞ = ⎛ 9  −6 ⎞ =
            ⎝ 3   1 ⎠   ⎝ 0  1 ⎠   ⎝ 6   3 ⎠ - 3p
= 3 ⎛ 3  −2 ⎞ = 3A
    ⎝ 2   1 ⎠ - 2p

A·X − B·X = I₂ − X ⇔ (A − B + I₂)·X = I₂ - 2p Cum det(A − B + I₂) = | 0 1 | | −1 1 | = 1, obținem X = (A − B + I₂)⁻¹, deci

X = ⎛ 1  −1 ⎞
    ⎝ 1   0 ⎠ - 3p

1.a) det A = | 5 −2 | | −1 1 | = 5 · 1 − (−2) · (−1) = - 3p = 5 − 2 = 3 - 2p

b)

B(2) = ⎛ 2  −4 ⎞
       ⎝ 1  −1 ⎠

și

B(6) = ⎛ 6  −12 ⎞
       ⎝ 1   −1 ⎠
⇒ 3B(2) + B(6) = ⎛ 12  −24 ⎞
                 ⎝  4   −4 ⎠ = - 3p
= 4 ⎛ 3  −6 ⎞
    ⎝ 1  −1 ⎠ = 4B(3) - 2p

c) (B(−x) − B(x)) · (B(−x) + B(x)) =

= ⎛ −2x  4x ⎞ ⎛ 0   0 ⎞
  ⎝   0   0 ⎠ ⎝ 2  −2 ⎠
= ⎛ 8x  −8x ⎞
  ⎝  0    0 ⎠,

pentru orice număr real x - 3p

Cum A + B(3) = ⎛ 8  −8 ⎞
               ⎝ 0   0 ⎠,

obținem x = 1 - 2p

M(0) = ⎛  1    4 ⎞
       ⎝ −1   −4 ⎠

⇒ det(M(0)) = | 1 4; −1 −4 | = 1·(−4) − 4·(−1) = - 3p = −4 + 4 = 0 - 2p

M(3) = ⎛  4    4 ⎞
       ⎝ −1   −1 ⎠,
M(3) + 2M(0) = ⎛  6   12 ⎞
                ⎝ −3   −9 ⎠ = - 3p
= 3 ⎛  2    4 ⎞ = 3M(1) - 2p
    ⎝ −1   −3 ⎠

M(a)·M(0) = ⎛ a − 3    4a − 12 ⎞
            ⎝ 3 − a    12 − 4a ⎠,

pentru orice număr real a - 3p

⎛ a − 3    4a − 12 ⎞ = ⎛  3    12 ⎞
⎝ 3 − a    12 − 4a ⎠   ⎝ −3   −12 ⎠,

de unde obținem a = 6 - 2p

1.a) M(4) = [8 4; 4 2] ⇒ det(M(4)) = |8 4; 4 2| = 8·2 − 4·4 = - 3p = 16 − 16 = 0 - 2p

b) M(1) = [2 1; 1 −1], M(1)·M(1) − M(1) = [5 1; 1 2] − [2 1; 1 −1] = - 3p = [3 0; 0 3] = 3I₂ - 2p

c) 3(M(1))⁻¹ = [1 1; 1 −2], M(n) − 3(M(1))⁻¹ = [2n−1 n−1; n−1 n], N = n² + n − 1, pentru orice număr natural nenul n - 3p N = n(n+1) − 1 și, cum n și n+1 sunt numere naturale nenule de parități diferite, obținem că numărul N este natural impar, pentru orice număr natural nenul n - 2p

1. a)

A(1) = ⎛1  0⎞
       ⎝2  2⎠ ⇒ det(A(1)) = │1  0│
                            │2  2│ = 1·2−0·2 = - 3p

= 2−0 = 2 - 2p

1. b)

A(7) = ⎛7  6⎞
       ⎝8  8⎠,
2A(1)+A(7) = ⎛ 9   6⎞
              ⎝12  12⎠ = - 3p
= 3⎛3  2⎞
   ⎝4  4⎠ = 3A(3) - 2p

1. c)

A(x)−(2x+1)I₂ = ⎛−x−1   x−1⎞
                 ⎝ x+1   −x ⎠,
(A(x)−(2x+1)I₂)·A(2) = ⎛ x−5    2x−4⎞
                       ⎝−x+2   −2x+1⎠,

pentru orice număr real x - 3p

⎛ x−5    2x−4⎞   ⎛y  0⎞
⎝−x+2   −2x+1⎠ = ⎝0  y⎠,

de unde obținem x = 2 și y = −3 - 2p

A(3) = ⎛1  1⎞
       ⎝2  3⎠

⇒ det(A(3)) = |1 1; 2 3| = 1·3 − 1·2 = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

A(2) + A(6) = ⎛1  1⎞ + ⎛1  1⎞ = ⎛2  2⎞ =
              ⎝2  2⎠   ⎝2  6⎠   ⎝4  8⎠

- 3p

= 2⎛1  1⎞ = 2A(4)
   ⎝2  4⎠

- 2p

A(x)·A(x) = ⎛3       1 + x ⎞
            ⎝2 + 2x  2 + x²⎠,

pentru orice număr real x - 3p

⎛3       1 + x ⎞ = ⎛3  0⎞
⎝2 + 2x  2 + x²⎠   ⎝0  3⎠,

de unde obținem x = −1 - 2p

A(2) = [[2, 6], [2, 7]] ⇒ det(A(2)) = det([[2, 6], [2, 7]]) = 2·7 − 2·6 = - 3p = 14 − 12 = 2 - 2p

A(1) = [[1, 3], [1, 5]], A(1)·A(1) + 2I₂ = [[4, 18], [6, 28]] + [[2, 0], [0, 2]] = [[6, 18], [6, 30]] = 6[[1, 3], [1, 5]] - 3p xA(1) = 6A(1), de unde obținem x = 6 - 2p

Cum det(A(2)) ≠ 0, X = (A(2))⁻¹·A(0)·(A(2))⁻¹; A(0) = [[0, 0], [0, 3]] - 2p (A(2))⁻¹ = [[7/2, −3], [−1, 1]], de unde obținem X = [[9, −9], [−3, 3]] - 3p

1.a)

det A = │ 3   2 │ = 3·0 − 2·(−1) =
        │ −1  0 │

3p = 0 + 2 = 2 2p

b)

B + 3I₂ = ⎛ 3   4 ⎞ + ⎛ 3  0 ⎞ = ⎛ 6  4 ⎞ =
          ⎝ −2 −3 ⎠   ⎝ 0  3 ⎠   ⎝ −2 0 ⎠

3p

= 2⎛ 3   2 ⎞ = 2A
   ⎝ −1  0 ⎠

2p

c)

xA + B = ⎛ 3x + 3  2x + 4 ⎞ ⇒ A·(xA + B) = ⎛ 7x + 5   6x + 6 ⎞, pentru orice număr real x
         ⎝ −x − 2  −3     ⎠                 ⎝ −3x − 3  −2x − 4 ⎠

3p

⎛ 7x + 5   6x + 6 ⎞ = ⎛ 2x  0  ⎞, de unde obținem x = −1
⎝ −3x − 3  −2x − 4 ⎠   ⎝ 0   2x ⎠

2p

A(2) = ⎛1  0⎞
       ⎝0  4⎠

⇒ det(A(2)) = |1 0| |0 4| = 4·1 − 0·0 = - 3p = 4 − 0 = 4 - 2p

A(3) + 2A(1) = ⎛1  0⎞ + ⎛2  0⎞ = ⎛3   0⎞ =
               ⎝0  8⎠   ⎝0  4⎠   ⎝0  12⎠ - 3p
= 3⎛1  0⎞ = 3A(2) - 2p
   ⎝0  4⎠

A(x)·A(x²) = ⎛1  0 ⎞⎛1  0     ⎞ = ⎛1  0       ⎞,
             ⎝0  2ˣ⎠⎝0  2^(x²)⎠   ⎝0  2^(x+x²)⎠

pentru orice număr real x - 2p

⎛1  0       ⎞ = ⎛1  0⎞ ⇔ 2^(x+x²) = 1,
⎝0  2^(x+x²)⎠   ⎝0  1⎠

de unde obținem x = 0 sau x = −1 - 3p

1.a) A(2) = ⎛1  2⎞
            ⎝1  2⎠

⇒ det(A(2)) = |1 2; 1 2| = 1·2 − 1·2 = - 3p = 2 − 2 = 0 - 2p

b) A(3) + 2I₂ =

⎛2  2⎞   ⎛2  0⎞   ⎛4  2⎞
⎝1  3⎠ + ⎝0  2⎠ = ⎝1  5⎠ = - 3p
= ⎛5 − 1  2⎞
  ⎝  1    5⎠ = A(5) - 2p

c) A(x) + xI₂ =

⎛x − 1  2⎞   ⎛x  0⎞   ⎛2x − 1   2⎞
⎝  1    x⎠ + ⎝0  x⎠ = ⎝   1    2x⎠

și det(A(x) + xI₂) = 4x² − 2x − 2, pentru orice număr real x - 3p 4x² − 2x − 2 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = −1/2 - 2p

det A = | −3 3 | | −2 −1 | = −3·(−1)−3·(−2) = - 3p = 3+6 = 9 - 2p

B(3) = ⎛ 4  −3 ⎞
       ⎝ 2   2 ⎠
și B(4) = ⎛ 5  −3 ⎞
          ⎝ 2   3 ⎠ ⇒ B(3)·B(4) = ⎛ 14  −21 ⎞
                                  ⎝ 14    0 ⎠ = - 3p
= 7⎛ 2  −3 ⎞ = 7B(1), de unde obținem x = 7 - 2p
   ⎝ 2   0 ⎠

C·B(a) = ⎛  (−a+1)/3    (a+2)/3 ⎞
         ⎝ (−2a−4)/9   (−a+7)/9 ⎠, pentru orice număr real a - 2p

C·B(a) = B(a)·C = I₂, de unde obținem a = −2 - 3p

A(2) = ⎛ 4   −2 ⎞ ⇒ det(A(2)) = │ 4   −2 │ = 4 · 1 − (−2) · 2 =
       ⎝ 2    1 ⎠               │ 2    1 │ - 3p

= 4 + 4 = 8 - 2p

A(0) = ⎛ 2   −2 ⎞ ⇒ A(0) · A(0) = ⎛ 0   −2 ⎞
       ⎝ 2   −1 ⎠                  ⎝ 2   −3 ⎠ - 3p
⎛ 0   −2 ⎞ = ⎛ x + 2    −2    ⎞,
⎝ 2   −3 ⎠   ⎝   2      x − 1 ⎠

de unde obținem x = −2 - 2p

det(A(x)) = x² + x + 2, pentru orice număr real x - 2p x² + x + 2 = y² + y + 2 ⇒ (x − y)(x + y + 1) = 0 și, cum x și y sunt numere reale distincte, obținem x + y + 1 = 0, deci x + y = −1 - 3p

det A = det([[1, 0], [1, 3]]) = 1·3 − 0·1 = - 3p = 3 − 0 = 3 - 2p

B(8) − 3B(2) = [[8, 0], [−1, 6]] − 3[[2, 0], [−1, 0]] = [[2, 0], [2, 6]] = - 3p = 2[[1, 0], [1, 3]] = 2A - 2p

A·B(x) = [[x, 0], [x−3, 3x−6]], pentru orice număr real x - 3p [[x, 0], [x−3, 3x−6]] = [[x, 0], [−1, x−2]], de unde obținem x = 2 - 2p

det A = | 3 −6 | | 2 −3 | = 3 · (−3) − (−6) · 2 = - 3p = −9 + 12 = 3 - 2p

A · A = ⎛ −3   0 ⎞ ⇒ A · A + A = ⎛ 0  −6 ⎞
        ⎝  0  −3 ⎠               ⎝ 2  −6 ⎠ - 2p
A · A + A = 2 ⎛ 0  −3 ⎞ = 2B(−1), de unde obținem x = −1 - 3p
              ⎝ 1  −3 ⎠

B(a) · A = ⎛ 2a − 4  −3a + 6 ⎞,
           ⎝ 3 + 6a  −6 − 9a ⎠
B(3a) = ⎛ 0  3a − 2 ⎞,
        ⎝ 1    9a   ⎠,
deci B(a) · A + B(3a) = ⎛ 2a − 4   4 ⎞,
                       ⎝ 4 + 6a  −6 ⎠,

pentru orice număr real a - 3p det(B(a) · A + B(3a)) = −36a + 8, pentru orice număr real a, deci −36a + 8 = 4 ⇒ a = 1/9 - 2p

Reguli generale:

1. a)

A(0) = ⎛ 0  0 ⎞ ⇒ det(A(0)) = | 0  0 | =
       ⎝ 1  1 ⎠               | 1  1 |

- 3p = 0 · 1 − 0 · 1 = 0 - 2p

Reguli generale:

1. b)

2A(4) + A(−2) = 2 ⎛ 4  4 ⎞ + ⎛ −2  −2 ⎞ = ⎛ 6   6 ⎞ =
                      ⎝ 1  9 ⎠   ⎝  1  −3 ⎠   ⎝ 3  15 ⎠

- 3p

= 3 ⎛ 2  2 ⎞ = 3A(2), de unde obținem a = 3
    ⎝ 1  5 ⎠

- 2p

Reguli generale:

1. c)

A(1) = ⎛ 1  1 ⎞ ⇒ det(A(1)) = 2 și (A(1))⁻¹ = ⎛  3/2  −1/2 ⎞
       ⎝ 1  3 ⎠                               ⎝ −1/2   1/2 ⎠

- 2p

A(m) = ⎛ m     m      ⎞ și, cum X = A(m) · (A(1))⁻¹, obținem
       ⎝ 1     2m + 1 ⎠
X = ⎛ m        0 ⎞, unde m este număr întreg, deci matricea X are toate elementele numere întregi
    ⎝ −m + 1   m ⎠

- 3p

1.a) det A = |1 3; 1 2| = 1 · 2 − 1 · 3 = - 3p = 2 − 3 = −1 - 2p

b) A · A = [4 9; 3 7] - 3p A · A − 3A = [4 9; 3 7] − [3 9; 3 6] = [1 0; 0 1] = I₂ - 2p

c) A · X = [1 + 3y x + 3; 1 + 2y x + 2], X · A = [1 + x 3 + 2x; y + 1 3y + 2], unde x și y sunt numere reale - 2p [1 + 3y x + 3; 1 + 2y x + 2] − [1 + x 3 + 2x; y + 1 3y + 2] = [−2 1; −1 2] ⇔ [3y − x −x; y x − 3y] = [−2 1; −1 2], de unde obținem x = −1 și y = −1 - 3p

1. a) det A = | 2 4; −1 −2 | = 2·(−2) − 4·(−1) = - 3p = −4 + 4 = 0 - 2p

b)

M(1) = ⎛ 0 −2 ⎞
       ⎝ 0  1 ⎠
și M(x) = ⎛ 2−2x   4−6x ⎞
          ⎝ −1+x  −2+3x ⎠,

pentru orice număr real x - 2p

M(x)·M(1) = ⎛ 0 −2x ⎞ = x⎛ 0 −2 ⎞ = xM(1),
            ⎝ 0   x ⎠    ⎝ 0  1 ⎠

pentru orice număr real x - 3p

c) M(4)·M(3)·(M(2)·M(1)) = M(4)·M(3)·(2M(1)) = 2M(4)·(M(3)·M(1)) = 2·3·4M(1) - 3p Cum 2·3·4M(1) = nM(1), obținem n = 24 - 2p

1.a)

det A = │ 4  −3 │ = 4·1 − (−3)·2 =
        │ 2   1 │ - 3p

= 4 + 6 = 10 - 2p

b)

B(5) = ⎛  5  1 ⎞
       ⎝ −1  5 ⎠
și B(−1) = ⎛ −1   1 ⎞
           ⎝ −1  −1 ⎠
⇒ 2B(5) + B(−1) = ⎛  9  3 ⎞ = - 3p
                  ⎝ −3  9 ⎠
= 3⎛  3  1 ⎞ = 3B(3) - 2p
   ⎝ −1  3 ⎠

c)

A·B(x) − B(4x) = ⎛ 4x+3  4−3x ⎞ − ⎛ 4x   1 ⎞ = ⎛  3  3−3x ⎞,
                 ⎝ 2x−1   2+x ⎠   ⎝ −1  4x ⎠   ⎝ 2x  2−3x ⎠

pentru orice număr întreg x, deci det(A·B(x) − B(4x)) = 6x² − 15x + 6, pentru orice număr întreg x - 3p 6x² − 15x + 6 = 0 și, cum x este număr întreg, obținem x = 2 - 2p