Subiectul al II-lea, 2., toate variantele

Reguli generale:

2.a) f(−1) = m(−1)⁴−m(−1)²+(−1)+1 = - 3p = m−m−1+1 = 0, pentru orice număr real nenul m - 2p

Reguli generale:

b) f(−2) = 12m−1, pentru orice număr real nenul m - 3p 12m−1 = 11, de unde obținem m = 1 - 2p

Reguli generale:

c) x₁+x₂+x₃+x₄ = 0, x₁x₂x₃+x₁x₂x₄+x₁x₃x₄+x₂x₃x₄ = −1/m, x₁x₂x₃x₄ = 1/m ≠ 0, pentru orice număr real nenul m - 3p m(x₁³+x₂³+x₃³+x₄³) = m(x₁+x₂+x₃+x₄)−4−(1/x₁+1/x₂+1/x₃+1/x₄), deci m = −3 - 2p

0 ∗ 2 = (2/3)(0 − 3)(2 − 3) + 3 = - 3p = 2 + 3 = 5 - 2p

x ∗ (3x/2) = x² − 5x + 9, pentru orice număr real x - 2p x² − 5x + 9 = 5x, de unde obținem x = 1 sau x = 9 - 3p

m ∗ m = (2/3)(m − 3)² + 3, m ∗ m ∗ n = (4/9)(m − 3)²(n − 3) + 3, pentru orice numere naturale m și n - 2p (4/9)(m − 3)²(n − 3) + 3 = −1 ⇔ (m − 3)²(n − 3) = −9 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0, 2) și (6, 2) - 3p

2. a) 1∗3 = 5(1−1)(3−1)+1 = - 3p = 0+1 = 1 - 2p

2. b) x∗(6/5) = 5(x−1)(6/5−1)+1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x - 2p (6/5)∗x = 5(6/5−1)(x−1)+1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 6/5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

2. c) (m/25)∗n = n∗(m/25) = 6/5, de unde obținem 5(m/25−1)(n−1)+1 = 5(n−1)(m/25−1)+1 = 6/5 - 3p (m−25)(n−1) = 1 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (24,0) și (26,2) - 2p

f(1)=a·1³+3·1²−a·1−6= - 3p =a+3−a−6=−3, pentru orice număr real nenul a - 2p

f=X(X²+3X−1)−6 și câtul împărțirii este X - 3p Restul este −6 - 2p

(1+x₁)(1+x₂)(1+x₃)=−f(−1)/a, pentru orice număr real nenul a - 3p −f(−1)/a=1, de unde obținem a=3 - 2p

f = X⁴ − 3X³ + X² − 2X + 3 ⇒ f(1) = 1⁴ − 3 · 1³ + 1² − 2 · 1 + 3 = - 3p = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 - 2p

x₁x₂x₃x₄ = m, x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 3 ⇒ (x₁x₂x₃x₄)² − x₁ − x₂ − x₃ − x₄ = m² − 3, pentru orice număr real m - 3p m² − 3 = 1, deci m² − 4 = 0, de unde obținem m = −2 sau m = 2 - 2p

f = X⁴ − 3X³ + X² − 2X și f(a) = a, de unde obținem a⁴ − 3a³ + a² − 3a = 0 - 3p a(a − 3)(a² + 1) = 0 și, cum a este număr real, obținem a = 0 sau a = 3 - 2p

2.a) 1 ∘ 1 = 1 · 1 + (2 · 1 + 2 · 1 − 1)/4 = - 3p = 1 + 3/4 = 7/4 - 2p

b) x ∘ (1/2) = x · (1/2) + (2x + 2 · (1/2) − 1)/4 = x/2 + x/2 = x, pentru orice număr real x - 2p (1/2) ∘ x = (1/2) · x + (2 · (1/2) + 2x − 1)/4 = x/2 + x/2 = x, pentru orice număr real x, deci e = 1/2 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

c) (1/2 − x) ∘ (1/2 + x) = 1/2 − x², (1/2 − x) ∘ (1/2 + x) ∘ (1/2 + x²) = 1/2 − x⁴, pentru orice număr real x - 2p 1/2 − x⁴ = 1/2 − x², de unde obținem x = −1 sau x = 0 sau x = 1 - 3p

f(2) = 2³ − 2·2² − a·2 + 2a = - 3p = 8 − 8 − 2a + 2a = 0, pentru orice număr real a - 2p

f = X³ − 2X² − X + 2 ⇒ f(−1) = (−1)³ − 2(−1)² − (−1) + 2 = - 3p = −1 − 2 + 1 + 2 = 0, deci polinomul f este divizibil cu polinomul g = X + 1 - 2p

f = (X − 2)(X² − a); x₁ = 2 și |x₂| = |x₃| = √a, deci |x₁| + |x₂| + |x₃| = 2 + 2√a - 3p 2 + 2√a = 8, de unde obținem a = 9 - 2p

2.a) f(1) = 1³ + a·1² + 1 + 2 − a = - 3p = 1 + a + 1 + 2 − a = 4, pentru orice număr real a - 2p

b) f = X³ + 2X² + X = X(X² + 2X + 1) - 2p Rădăcinile polinomului sunt x₁ = x₂ = −1 și x₃ = 0 - 3p

c) x₁x₂x₃ = −2 + a, (x₁ − x₁²)(x₂ − x₂²)(x₃ − x₃²) = x₁x₂x₃(1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = (−2 + a)f(1) - 3p 4(−2 + a) = 4, de unde obținem a = 3 - 2p

2. a) 0 ∗ 1 = 0² · 1² − 4(0 + 1)² + 1 = - 3p = 0 − 4 + 1 = −3 - 2p

2. b) x ∗ (−1) = −3x² + 8x − 3 = - 2p = −3x² + 6x − 3 + 2x = −3(x − 1)² + 2x ≤ 2x, pentru orice număr real x - 3p

2. c) m²n² − 4(m + n)² + 1 = 1 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, obținem mn − 2m − 2n = 0 - 2p (m − 2)(n − 2) = 4 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m ≤ n, perechile sunt (3, 6) și (4, 4) - 3p

2. a) 2 ∘ 3 = 2 · 3 + (2² − 2)(2³ − 2) = - 3p = 6 + 12 = 18 - 2p

2. b) x ∘ 1 = x · 1 + (2ˣ − 2)(2¹ − 2) = x + 0 = x, pentru orice număr real x - 2p 1 ∘ x = 1 · x + (2¹ − 2)(2ˣ − 2) = x + 0 = x, pentru orice număr real x, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

2. c) x ∘ (−x) = −x² + 1 − 2 · 2ˣ − 2 · 2⁻ˣ + 4 = - 2p = −x² + 1 − 2 · (2ˣ − 2 + 1/2ˣ) = 1 − x² − 2 · (√(2ˣ) − 1/√(2ˣ))² ≤ 1, pentru orice număr real x - 3p

2.a) f = X⁴ + 2X³ − 8X² + 6X + 2 ⇒ f(1) = 1⁴ + 2 · 1³ − 8 · 1² + 6 · 1 + 2 = - 3p = 1 + 2 − 8 + 6 + 2 = 3 - 2p

2.b) f = X⁴ + 2X³ − 8X² = X²(X² + 2X − 8) - 2p Rădăcinile polinomului f sunt x₁ = x₂ = 0, x₃ = −4, x₄ = 2 - 3p

2.c) Polinomul f are coeficienți raționali, deci x₂ = 1 − √3 este rădăcină a polinomului f - 2p x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −2 și x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ = −8, unde x₃ și x₄ sunt celelalte rădăcini ale polinomului f, de unde obținem x₃ + x₄ = −4 și x₃x₄ = 2 și, cum x₁x₂x₃x₄ = m, rezultă m = −4, care convine - 3p

2. a) 0 ∗ 2 = (0 + 2)² − 2(0 − 2) − 3 = - 3p = 4 + 4 − 3 = 5 - 2p

2. b) x ∗ (x + 1) = 4x² + 4x, pentru orice număr real x - 2p 4x² + 4x = 8 ⇔ x² + x − 2 = 0, de unde obținem x = −2 sau x = 1 - 3p

2. c) (m + n)² − 2(m − n) − 3 = 2mn ⇔ m² + n² − 2m + 2n − 3 = 0 - 2p (m − 1)² + (n + 1)² = 5 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0, 1), (2, 1) și (3, 0) - 3p

1 ∗ 0 = (2·1)/(0 + 2) + (2·0)/(1 + 2) = - 3p = 1 + 0 = 1 - 2p

x ∗ 0 = 2x/(0 + 2) + (2·0)/(x + 2) = x, pentru orice x ∈ M - 2p 0 ∗ x = (2·0)/(x + 2) + 2x/(0 + 2) = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

x ∗ (4/x) = 2x/(4/x + 2) + (8/x)/(x + 2) = x²/(x + 2) + 8/(x(x + 2)) = (x³ + 8)/(x(x + 2)), pentru orice x ∈ M, x nenul - 3p (x³ + 8)/(x(x + 2)) = x și, cum x ∈ M, x nenul, obținem x = 2 - 2p

2. a) 1∗3=1·3(1+3)/(1·3+1)= - 3p =3·4/4=3 - 2p

2. b) x∗1=x·1·(x+1)/(x·1+1)=x(x+1)/(x+1)=x, pentru orice x∈M - 2p 1∗x=1·x·(1+x)/(1·x+1)=x(x+1)/(x+1)=x, pentru orice x∈M, deci e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

2. c) (1/m)∗(1/n)=(m+n)/(mn(mn+1)); (1/16)·(m∗n)=(1/16)·mn(m+n)/(mn+1), pentru orice numere naturale nenule m și n - 3p m²n²=16 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m≤n, obținem perechile (1,4) și (2,2) - 2p

4 ∗ 3 = √(4^(log₃ 3)) = - 3p = √4 = 2 - 2p

x ∗ 9 = √(x^(log₃ 9)) = √(x²) = x, pentru orice x ∈ G - 2p 9 ∗ x = √(9^(log₃ x)) = √(3^(2log₃ x)) = √((3^(log₃ x))²) = √(x²) = x, pentru orice x ∈ G, deci e = 9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

x ∗ x = e ⇒ √(x^(log₃ x)) = 9 ⇒ x^(log₃ x) = 81 ⇒ log₃(x^(log₃ x)) = log₃ 81, deci (log₃ x)² = 4 - 3p log₃ x = −2 sau log₃ x = 2 ⇒ x = 1/9, care nu convine; x = 9, care convine - 2p

2 ∗ 0 = ½(2 + 0 + |2 − 0|) = - 3p = ½(2 + 2) = 2 - 2p

a ≤ b ⇒ |a − b| = b − a - 2p a ∗ b = ½(a + b + |a − b|) = ½(a + b + b − a) = ½·2b = b, pentru orice numere reale a și b astfel încât a ≤ b - 3p

x² + 1 ≥ 2x și x² + 1 ≥ −2x, pentru orice număr real x, deci ((2x) ∗ (x² + 1)) ∗ (−2x) = = (x² + 1) ∗ (−2x) = (−2x) ∗ (x² + 1) = x² + 1, pentru orice număr real x - 3p x² + 1 = 10, deci x = −3 sau x = 3 - 2p

2. a) Pentru m = 1, obținem x ∘ y = xy − (x + y) + 2, deci 2 ∘ 2 = 2 · 2 − (2 + 2) + 2 = - 3p = 4 − 4 + 2 = 2 - 2p

2. b) 2 ∘ 1 = 5 ⇔ 2 · 1 − m(2 + 1) + m(m + 1) = 5 ⇔ m² − 2m − 3 = 0 și, cum m ∈ (0,+∞) ⇒ m = 3 - 3p 2 ∘ 5 = 2 · 5 − 3(2 + 5) + 3 · 4 = 10 − 21 + 12 = 1 - 2p

2. c) −m²x⁵ − m(mx³ − mx²) + m² + m = m ⇔ m²(x⁵ + x³ − x² − 1) = 0 - 2p Cum m ∈ (0,+∞), obținem x³(x² + 1) − x² − 1 = 0 ⇔ (x² + 1)(x³ − 1) = 0, deci x = 1 - 3p

2.a) 3 ∗ 5 = (3 · 5 − 1)/((3 − 1)(5 − 1)) = - 3p = 14/(2 · 4) = 7/4 - 2p

b) x ∗ x = (x² − 1)/(x − 1)² = (x + 1)/(x − 1), pentru orice x ∈ M - 3p (x + 1)/(x − 1) = 3, de unde obținem x = 2, care convine - 2p

c) x ∗ 2 = (2x − 1)/(x − 1), deci (x ∗ 2) ∗ x = (2x² − 2x + 1)/(x(x − 1)) = - 3p = 2 + 1/(x(x − 1)) > 2, pentru orice x ∈ M - 2p

0∗1 = √((0²+2)(1²+2)+3) = - 3p = √9 = 3 - 2p

Pentru m = 7, x∗(2x) = √((x²+2)(4x²+2)+7), pentru orice număr real x - 2p √((x²+2)(4x²+2)+7) = 5, deci 2x⁴+5x²−7 = 0 și, cum x este număr real, obținem x = −1 sau x = 1 - 3p

(x∗y)∗z = x∗(y∗z), pentru orice numere reale x, y și z, de unde obținem ((x²+2)(y²+2)+m+2)(z²+2)+m = (x²+2)((y²+2)(z²+2)+m+2)+m - 3p (m+2)(z²+2) = (x²+2)(m+2), pentru orice numere reale x și z dacă și numai dacă m = −2, care convine - 2p

f = X⁴ − X³ + 4X² − 6 ⇒ f(−1) = (−1)⁴ − (−1)³ + 4(−1)² − 6 = - 3p = 1 + 1 + 4 − 6 = 0 - 2p

f = X⁴ − X³ + X² + X − 6 = (X² − X + 1)X² + X − 6, deci câtul împărțirii este X² - 3p Restul este X − 6 - 2p

x₂ = −x₁, deci f(x₁) = f(−x₁) = 0, de unde rezultă f(x₁) + f(−x₁) = 0 și f(x₁) − f(−x₁) = 0, de unde obținem x₁⁴ + ax₁² − 6 = 0 și x₁³ − bx₁ = 0 - 2p Cum x₁ ≠ 0, obținem b = x₁², deci b(a + b) = 6 și, cum a și b sunt numere naturale, rezultă că perechile sunt (1,2) și (5,1), care convin - 3p

Reguli generale:

2. a) 1 ∗ 3 = 1² · 3 + 1 · 3² + 1 + 3 = - 3p = 3 + 9 + 4 = 16 - 2p

Reguli generale:

2. b) x ∗ (2/x) = (3x² + 6)/x, pentru orice număr real nenul x - 3p (3x² + 6)/x = 9x, de unde obținem x = −1 sau x = 1, care convin - 2p

Reguli generale:

2. c) m ∗ n = (m + n)(mn + 1), pentru orice numere întregi m și n - 2p (m + n)(mn + 1) = 1 și, cum m și n sunt numere întregi, cu m ≤ n, obținem perechile (0, 1) și (−2, 1) - 3p

2. a) 1 ∗ 4 = √(1 · 4) + 1/√(1 · 4) + (1 + 4)/2 − 2 = - 3p = 2 + 1/2 + 5/2 − 2 = 3 - 2p

2. b) x ∗ x = (2x² − 2x + 1)/x, pentru orice x ∈ M - 2p (2x² − 2x + 1)/x = 1, deci 2x² − 3x + 1 = 0, de unde obținem x = 1/2 sau x = 1, care convin - 3p

2. c) x ∗ y = (√(xy) − 1)²/√(xy) + (x + y)/2 ≥ (x + y)/2, pentru orice x, y ∈ M - 3p Pentru x, y ∈ [1, +∞), rezultă (x + y)/2 ≥ 1, deci x ∗ y ∈ [1, +∞), de unde obținem că [1, +∞) este parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție „∗” - 2p

6 ∗ 7 = 4 − ½(6 − 4)(7 − 4) = - 3p = 4 − 3 = 1 - 2p

x ∗ (x + 4) = 4 − ½(x − 4)x, pentru orice număr real x - 2p 4 − ½(x − 4)x = 6, de unde obținem x = 2 - 3p

m ∗ n ∗ p = 4 + ¼(m − 4)(n − 4)(p − 4), pentru orice numere naturale m, n și p - 3p 4 + ¼(m − 4)(n − 4)(p − 4) = 3 ⇔ (m − 4)(n − 4)(p − 4) = −4 și, cum m, n și p sunt numere naturale cu m < n < p, obținem tripletele (2,5,6) și (3,5,8) - 2p

3 ∘ 5 = m(3 − 3)(5 − 3) + 3 = - 3p = m · 0 · 2 + 3 = 3, pentru orice m ∈ (0, +∞) - 2p

x ∘ (7/2) = 2(x − 3)(7/2 − 3) + 3 = x − 3 + 3 = x, pentru orice x ∈ M - 2p (7/2) ∘ x = 2(7/2 − 3)(x − 3) + 3 = x − 3 + 3 = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 7/2 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

f(x ∘ y) = 3 + √((x − 3)(y − 3) + 3 − 3) = 3 + √((x − 3)(y − 3)) = - 2p = 3 + (3 + √(x − 3) − 3)(3 + √(y − 3) − 3) = (f(x) − 3)(f(y) − 3) + 3 = f(x) ∘ f(y), pentru orice x, y ∈ M - 3p

1 ∗ 2 = (1² + 2² + 1 + 2)/(1 + 2 + 1) = - 3p = 8/4 = 2 - 2p

x ∗ 0 = (x² + 0² + x + 0)/(x + 0 + 1) = x(x + 1)/(x + 1) = x, pentru orice x ∈ M - 2p 0 ∗ x = (0² + x² + 0 + x)/(0 + x + 1) = x(x + 1)/(x + 1) = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

(m² + n² + m + n)/(m + n + 1) = 5, de unde obținem (m − 2)² + (n − 2)² = 13 - 3p Cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0,5), (4,5), (5,0) și (5,4) - 2p

Reguli generale:

2.a) f(−1) = (−1)⁴ + a · (−1)³ + a · (−1)² + 8 · (−1) − 8 = - 3p. = 1 − a + a − 8 − 8 = −15, pentru orice număr real a - 2p.

Reguli generale:

2.b) Restul împărțirii polinomului f la polinomul g este egal cu (a + 8)X + a − 7, pentru orice număr real a - 3p. (a + 8)X + a − 7 = 15X, de unde obținem a = 7 - 2p.

Reguli generale:

2.c) Presupunând că rădăcinile x₁, x₂, x₃, x₄ ale polinomului f sunt numere întregi, cum x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = −a, obținem că a ∈ ℤ - 2p. x₁x₂x₃x₄ = −8 ⇒ |x₁| · |x₂| · |x₃| · |x₄| = 8, de unde obținem că cel puțin o rădăcină a polinomului f are modulul egal cu 1 și, cum f(−1) ≠ 0 pentru orice număr real a, obținem f(1) = 0, deci a = −1/2, ceea ce este fals, deci polinomul f nu are toate rădăcinile numere întregi - 3p.

2. a) 1 ∗ (1/2) = (1 · (1/2)) / (1 + √((1 − 1²)(1 − (1/2)²))) = - 3p = (1/2) / (1 + √0) = 1/2 - 2p

2. b) x ∗ (−x) = −x² / (1 + |1 − x²|) = −x² / (2 − x²), pentru orice x ∈ M - 3p (x ∗ (−x)) + x² = x²(1 − x²) / (2 − x²) ≥ 0, deci x ∗ (−x) ≥ −x², pentru orice x ∈ M - 2p

2. c) a ∗ b = 1 ⇒ √((1 − a²)(1 − b²)) = ab − 1, deci ab ≥ 1 - 3p Cum a,b ∈ M, obținem ab = 1, deci perechile sunt (−1,−1) și (1,1), care convin - 2p

x ∗ y = log₂(2ˣ(2ʸ − 2) − 2^(y+1) + 4 + 2) = - 3p = log₂(2ˣ(2ʸ − 2) − 2(2ʸ − 2) + 2) = log₂((2ˣ − 2)(2ʸ − 2) + 2), pentru orice x, y ∈ M - 2p

x ∗ e = x pentru orice x ∈ M, unde e este elementul neutru al legii de compoziție, deci (2ˣ − 2)(2ᵉ − 3) = 0 pentru orice x ∈ M, de unde obținem e = log₂3 ∈ M - 3p Cum (log₂3) ∗ x = x pentru orice x ∈ M, obținem că e = log₂3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 2p

x ∗ x ∗ x = log₂((2ˣ − 2)³ + 2), pentru orice x ∈ M - 3p (x ∗ x ∗ x) − 3x = log₂(((2ˣ − 2)³ + 2)/2^(3x)) = log₂(1 − 6(2ˣ − 1)²/2^(3x)) < 0, pentru orice x ∈ M, de unde obținem că x ∗ x ∗ x < 3x, pentru orice x ∈ M - 2p

Reguli generale:

II.2.a) (−1) ∗ 2 = (−1 + 2)/(4·|−1·2| + 1) = - 3p = 1/(4·2 + 1) = 1/9 - 2p

Reguli generale:

II.2.b) z ∗ 0 = (z + 0)/(4·|z·0| + 1) = z, pentru orice număr complex z - 2p 0 ∗ z = (0 + z)/(4·|0·z| + 1) = z, pentru orice număr complex z, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

Reguli generale:

II.2.c) z ∗ z = 2z/(4·|z|² + 1), pentru orice număr complex z - 2p |2z/(4·|z|² + 1)| = |z| și z este număr complex nenul, deci 4·|z|² + 1 = 2, de unde obținem |z| = 1/2 și, de exemplu, numerele distincte nenule 1/2, −1/2 și i/2 verifică egalitatea dată - 3p

2.a) f = X⁴ + X³ + 2̂X + 2̂, deci f(0̂) = 2̂ și f(2̂) = 0̂ - 3p f(0̂) + f(2̂) = 2̂ + 0̂ = 2̂ - 2p

b) f este divizibil cu X + 2̂ ⇔ f(1̂) = 0̂, deci a + b = 0̂ - 3p Cum a, b ∈ ℤ₃, perechile sunt (0̂, 0̂), (1̂, 2̂) și (2̂, 1̂) - 2p

c) f(0̂) + f(1̂) + f(2̂) = 2̂, pentru orice a, b ∈ ℤ₃ - 3p Dacă f(0̂), f(1̂) și f(2̂) ar fi distincte două câte două, atunci f(0̂) + f(1̂) + f(2̂) = 0̂ + 1̂ + 2̂ = 0̂, ceea ce este fals, deci pentru orice a, b ∈ ℤ₃, există x, y ∈ ℤ₃, cu x ≠ y, astfel încât f(x) = f(y) - 2p

2.a) 5 ∗ 10 = (5 − 1)^{log₃(10 − 1)} + 1 = 4^{log₃9} + 1 = - 3p = 4² + 1 = 17 - 2p

b) x ∗ e = x ⇔ (x − 1)^{log₃(e − 1)} + 1 = x ⇔ (x − 1)^{log₃(e − 1)} = x − 1, pentru orice x ∈ M, de unde obținem log₃(e − 1) = 1, deci e = 4 ∈ M - 3p Cum 4 ∗ x = 3^{log₃(x − 1)} + 1 = (x − 1) + 1 = x, pentru orice x ∈ M, obținem că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 2p

c) x ∗ x = (x − 1)^{log₃(x − 1)} + 1, x ∗ x ∗ x = (x − 1)^{[log₃(x − 1)]²} + 1, pentru orice x ∈ M - 2p Cum x ∈ M, (x − 1)^{log₃(x − 1)} = (x − 1)^{[log₃(x − 1)]²} ⇒ log₃(x − 1) = [log₃(x − 1)]², deci log₃(x − 1) = 0 sau log₃(x − 1) = 1 și, cum x > 2, obținem x = 4 - 3p