Sesiuni de examen
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (2x+1)/(x²+6).
Arătați că f′(x) = 2(x+3)(2−x)/(x²+6)², x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = [2(x²+6) − (2x+1)·2x]/(x²+6)² = - 3p
= (−2x²−2x+12)/(x²+6)² = 2(x+3)(2−x)/(x²+6)², x ∈ ℝ - 2p
Arătați că lim_{x→+∞} (x·f(x)) = 2.
Arată baremul
lim_{x→+∞} (x·f(x)) = lim_{x→+∞} [x(2x+1)/(x²+6)] = lim_{x→+∞} [x²(2+1/x)/(x²(1+6/x²))] = - 3p
= lim_{x→+∞} [(2+1/x)/(1+6/x²)] = 2 - 2p
Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = a, situat pe graficul funcției f, are panta egală cu 0.
Arată baremul
Răspuns: a = −3 sau a = 2
Tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = a, situat pe graficul funcției f, are panta egală cu 0 ⇔ f′(a) = 0 - 2p
2(a+3)(2−a)/(a²+6)² = 0 ⇔ a = −3 sau a = 2 - 3p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x⁴ − 4x³ − 12x² − 1.
Arătați că f′(x) = 12x(x + 1)(x − 2), x ∈ ℝ.
Arată baremul
1. a)
f′(x) = 12x³ − 12x² − 24x = - 3p
= 12x(x² − x − 2) = 12x(x + 1)(x − 2), x ∈ ℝ - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = −1
f(0) = −1, f′(0) = 0 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = −1 - 3p
Demonstrați că 3x⁴ + 5 ≥ 4x³ + 12x², pentru orice x ∈ (−∞, 0].
Arată baremul
Pentru x ∈ (−∞, 0], f′(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 0; pentru orice x ∈ (−∞, −1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (−∞, −1] și, pentru orice x ∈ [−1, 0], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−1, 0] - 3p
f(x) ≥ f(−1), pentru orice x ∈ (−∞, 0] și, cum f(−1) = −6, obținem 3x⁴ + 5 ≥ 4x³ + 12x², pentru orice x ∈ (−∞, 0] - 2p
Se consideră funcția f : (−4,+∞) → ℝ, f(x) = (4x + 7)/(x + 4).
Arătați că f′(x) = 9/(x + 4)², x ∈ (−4,+∞).
Arată baremul
1.a) f′(x) = (4(x + 4) − (4x + 7))/(x + 4)² = - 3p
= (4x + 16 − 4x − 7)/(x + 4)² = 9/(x + 4)², x ∈ (−4,+∞) - 2p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 4
b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (4x + 7)/(x + 4) = lim_{x→+∞} (4 + 7/x)/(1 + 4/x) = 4 - 3p
Dreapta de ecuație y = 4 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p
Determinați a ∈ (−4,+∞), știind că panta tangentei la graficul funcției f în punctul A(a,f(a)) este egală cu 1.
Arată baremul
Răspuns: -1
c) f′(a) = 1 - 2p
9/(a + 4)² = 1, deci (a + 4)² = 9 și, cum a ∈ (−4,+∞), obținem a = −1 - 3p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (x − 2)/eˣ.
Arătați că f′(x) = (3 − x)/eˣ, x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = (eˣ − (x − 2)eˣ)/(eˣ)² = - 3p
= eˣ(1 − x + 2)/(eˣ)² = (3 − x)/eˣ, x ∈ ℝ - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 3x − 2
f(0) = −2, f′(0) = 3 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 3x − 2 - 3p
Demonstrați că −e^(x−1) ≤ x − 2 ≤ e^(x−3), pentru orice x ∈ [1,4].
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = 3; pentru orice x ∈ [1,3], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,3] și, pentru orice x ∈ [3,4], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [3,4] - 2p
f(1) = −1/e, f(3) = 1/e³ și f(4) = 2/e⁴, deci −1/e ≤ f(x) ≤ 1/e³, pentru orice x ∈ [1,4], de unde obținem −e^(x−1) ≤ x − 2 ≤ e^(x−3), pentru orice x ∈ [1,4] - 3p
Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = 2x² − 1 + 4/x.
Arătați că f′(x) = 4(x³ − 1)/x², x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
Reguli generale:
1.a)
f′(x) = 4x − 4/x² = - 3p
= (4x³ − 4)/x² = 4(x³ − 1)/x², x ∈ (0, +∞) - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 7x − 5
Reguli generale:
1.b)
f(2) = 9, f′(2) = 7 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(2) = f′(2)(x − 2), adică y = 7x − 5 - 3p
Arătați că 6 ≤ 2x² + 4/x ≤ 33, pentru orice x ∈ [1/4, 4].
Arată baremul
Reguli generale:
1.c)
f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ [1/4, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [1/4, 1] și, pentru orice x ∈ [1, 4], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, 4] - 2p
Cum f(1/4) = 121/8, f(1) = 5, f(4) = 32, obținem f(1) ≤ f(x) ≤ f(4), pentru orice x ∈ [1/4, 4], deci 6 ≤ 2x² + 4/x ≤ 33, pentru orice x ∈ [1/4, 4] - 3p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x/(x² + 1).
Arătați că f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ.
Arată baremul
1. a)
f′(x) = [x′·(x² + 1) − x·(x² + 1)′]/(x² + 1)² = - 3p
= (x² + 1 − 2x²)/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p
Arătați că lim(x → +∞) x f(x) = 1.
Arată baremul
1. b)
lim(x → +∞) x f(x) = lim(x → +∞) x²/(x² + 1) = lim(x → +∞) x²/[x²(1 + 1/x²)] = - 3p
= lim(x → +∞) 1/(1 + 1/x²) = 1 - 2p
Determinați intervalele de monotonie a funcției f.
Arată baremul
Răspuns: Funcția f este descrescătoare pe (−∞, −1] și pe [1, +∞), și crescătoare pe [−1, 1].
1. c)
f′(x) = 0 ⇔ x = −1 și x = 1; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −1] ⇒ f este descrescătoare pe (−∞, −1]; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, 1] ⇒ f este crescătoare pe [−1, 1] - 3p
f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 2p
Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = (2x − 1)/x².
Arătați că f′(x) = 2(1 − x)/x³, x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
1.a) f′(x) = [(2x − 1)′·x² − (2x − 1)·(x²)′]/x⁴ = [2x² − 2x(2x − 1)]/x⁴ = - 3p
= (−2x² + 2x)/x⁴ = 2(1 − x)/x³, x ∈ (0, +∞) - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 1
b) f(1) = 1, f′(1) = 0 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = 1 - 3p
Determinați intervalele de monotonie a funcției f.
Arată baremul
Răspuns: f este crescătoare pe (0, 1] și descrescătoare pe [1, +∞).
c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (0, 1] ⇒ f este crescătoare pe (0, 1]; - 3p
f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 2p
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x²/(x² + 1).
Arătați că f′(x) = 2x/(x² + 1)², x ∈ ℝ.
Arată baremul
1.a)
f′(x) = [(x²)′·(x² + 1) − x²·(x² + 1)′]/(x² + 1)² = - 2p
= [2x(x² + 1) − x²·2x]/(x² + 1)² = 2x/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 3p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 1
1.b)
lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} x²/(x² + 1) = lim_{x→+∞} x²/[x²(1 + 1/x²)] = 1 - 3p
Dreapta de ecuație y = 1 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p
Determinați intervalele de monotonie a funcției f.
Arată baremul
Răspuns: f este descrescătoare pe (−∞, 0] și crescătoare pe [0, +∞).
1.c)
f′(x) = 0 ⇔ x = 0, f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, 0] ⇒ f este descrescătoare pe (−∞, 0]; - 3p
f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [0, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [0, +∞) - 2p
Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = x² − 3x + 4 + ln x.
Arătați că f′(x) = ((2x − 1)(x − 1))/x, x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 2x − 3 + 1/x = - 3p
= (2x² − 3x + 1)/x = ((2x − 1)(x − 1))/x, x ∈ (0, +∞) - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 2
f(1) = 2, f′(1) = 0 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = 2 - 3p
Demonstrați că f(x) ≤ 11/4 − ln 2, pentru orice x ∈ (0, 1].
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = 1/2 sau x = 1; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (0, 1/2] ⇒ f este crescătoare pe (0, 1/2] și f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1/2, 1] ⇒ f este descrescătoare pe [1/2, 1] - 3p
f(x) ≤ f(1/2), pentru orice x ∈ (0, 1] și, cum f(1/2) = 11/4 − ln 2, obținem f(x) ≤ 11/4 − ln 2, pentru orice x ∈ (0, 1] - 2p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x³ + 6x² − 15x + 9.
Arătați că f′(x) = 3(x² + 4x − 5), x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = 3x² + 6·2x − 15 = - 3p
= 3x² + 12x − 15 = 3(x² + 4x − 5), x ∈ ℝ - 2p
Determinați intervalele de monotonie a funcției f.
Arată baremul
Răspuns: f este crescătoare pe (−∞, −5] și pe [1, +∞) și descrescătoare pe [−5, 1].
f′(x) = 0 ⇔ x = −5 sau x = 1 - 2p
f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −5], deci f este crescătoare pe (−∞, −5], f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [−5, 1], deci f este descrescătoare pe [−5, 1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞), deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 3p
Arătați că limₓ→₊∞ f′(x)/(eˣf″(x)) = 0.
Arată baremul
f″(x) = 3(2x + 4), x ∈ ℝ, deci limₓ→₊∞ f′(x)/(eˣf″(x)) = limₓ→₊∞ (x² + 4x − 5)/(eˣ(2x + 4)) = limₓ→₊∞ (2x + 4)/(eˣ(2x + 6)) = - 3p
= limₓ→₊∞ 2/(eˣ(2x + 8)) = 0 - 2p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 2/eˣ − 1.
Arătați că f′(x) = 2(eˣ − 1)/eˣ, x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = 2 − 2e⁻ˣ = 2 − 2/eˣ = - 3p
= (2eˣ − 2)/eˣ = 2(eˣ − 1)/eˣ, x ∈ ℝ - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 1
f(0) = 1, f′(0) = 0 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 1 - 3p
Determinați numerele reale m și n, știind că dreapta d de ecuație y = mx + n este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: m = 2, n = −1
lim[x → +∞] f(x)/x = lim[x → +∞] (2x + 2/eˣ − 1)/x = lim[x → +∞] (2 + 2/(xeˣ) − 1/x) = 2, deci m = 2 - 3p
lim[x → +∞] (f(x) − 2x) = lim[x → +∞] (2/eˣ − 1) = −1, deci n = −1 - 2p
Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=2x³−3x⁴+2.
Arătați că f′(x)=6x²(1−2x), x∈ℝ.
Arată baremul
f′(x)=2·3x²−3·4x³= - 3p
=6x²−12x³=6x²(1−2x), x∈ℝ - 2p
Arătați că lim_{x→+∞} (f(x)+3x⁴)/(x³+4)=2.
Arată baremul
lim_{x→+∞} (f(x)+3x⁴)/(x³+4)=lim_{x→+∞} (2x³+2)/(x³+4)=lim_{x→+∞} [x³(2+2/x³)]/[x³(1+4/x³)]= - 2p
=lim_{x→+∞} (2+2/x³)/(1+4/x³)=2 - 3p
Demonstrați că −32≤2x³−3x⁴≤1/16, pentru orice x∈[0,2].
Arată baremul
f′(x)=0 ⇒ x=0 sau x=1/2; f′(x)≥0, pentru orice x∈[0,1/2] ⇒ f este crescătoare pe [0,1/2] și f′(x)≤0, pentru orice x∈[1/2,2] ⇒ f este descrescătoare pe [1/2,2] - 2p
f(0)=2, f(1/2)=33/16 și f(2)=−30, deci −30≤f(x)≤33/16, pentru orice x∈[0,2], de unde obținem −32≤2x³−3x⁴≤1/16, pentru orice x∈[0,2] - 3p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 1.
Arătați că f′(x) = 10x²(x² + 2x − 3), x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = 2·5x⁴ + 5·4x³ − 10·3x² = - 3p
= 10x⁴ + 20x³ − 30x² = 10x²(x² + 2x − 3), x ∈ ℝ - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 1
f(0) = 1, f′(0) = 0 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 1 - 3p
Demonstrați că 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 3 ≥ 0, pentru orice x ∈ [−3, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = −3 sau x = 0 sau x = 1; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [−3, 1] ⇒ f este descrescătoare pe [−3, 1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [1, +∞), deci f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ [−3, +∞) - 3p
f(1) = −2, de unde obținem 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 1 ≥ −2, deci 2x⁵ + 5x⁴ − 10x³ + 3 ≥ 0, pentru orice x ∈ [−3, +∞) - 2p
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x³ − 9x² + 3.
Arătați că f′(x) = 3x(x − 6), x ∈ ℝ.
Arată baremul
1. a) f′(x) = 3x² − 9·2x = - 3p
= 3x² − 18x = 3x(x − 6), x ∈ ℝ - 2p
Determinați intervalele de monotonie a funcției f.
Arată baremul
Răspuns: Funcția f este crescătoare pe (−∞, 0] și pe [6, +∞) și descrescătoare pe [0, 6].
b) f′(x) = 0 ⇒ x = 0 sau x = 6 - 2p
Pentru orice x ∈ (−∞, 0], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe (−∞, 0], pentru orice x ∈ [0, 6], f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [0, 6] și pentru orice x ∈ [6, +∞), f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe [6, +∞) - 3p
Arătați că lim(x → 1) [(f′(x) − f′(1))/(3f(x) − x f′(x))] = 2/3.
Arată baremul
c) lim(x → 1) [(f′(x) − f′(1))/(3f(x) − x f′(x))] = lim(x → 1) [3(x² − 6x + 5)/(9(1 − x²))] = - 2p
= lim(x → 1) [3(x − 1)(x − 5)/(−9(x − 1)(x + 1))] = lim(x → 1) [(x − 5)/(−3(x + 1))] = 2/3 - 3p
1. Se consideră funcția f:(0,+∞)→ℝ, f(x)=4/x+ln x−5.
Arătați că f′(x)=(x−4)/x², x∈(0,+∞).
Arată baremul
1.a)
f′(x)=−4/x²+1/x−0= - 3p
=(−4+x)/x²=(x−4)/x², x∈(0,+∞) - 2p
Determinați intervalele de monotonie a funcției f.
Arată baremul
Răspuns: f este descrescătoare pe (0,4] și crescătoare pe [4,+∞).
b)
f′(x)=0 ⇔ x=4 - 2p
f′(x)≤0, pentru orice x∈(0,4] ⇒ f este descrescătoare pe (0,4] și f′(x)≥0, pentru orice x∈[4,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [4,+∞) - 3p
Arătați că nu există asimptotă spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
c)
lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} (4/x²+(ln x)/x−5/x)=0 - 3p
lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (4/x+ln x−5)=+∞, deci nu există asimptotă spre +∞ la graficul funcției f - 2p
Se consideră funcția f : (−1/3, +∞) → ℝ, f(x) = 2x/(3x + 1).
Arătați că f′(x) = 2/(3x + 1)², x ∈ (−1/3, +∞).
Arată baremul
1.a)
f′(x) = (2(3x + 1) − 2x · 3)/(3x + 1)² = - 3p
= (6x + 2 − 6x)/(3x + 1)² = 2/(3x + 1)², x ∈ (−1/3, +∞) - 2p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 2/3
b)
limₓ→₊∞ 2x/(3x + 1) = limₓ→₊∞ 2x/(x(3 + 1/x)) = limₓ→₊∞ 2/(3 + 1/x) = 2/3 - 3p
Dreapta de ecuație y = 2/3 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p
Arătați că funcția f este concavă.
Arată baremul
c)
f″(x) = −12/(3x + 1)³, x ∈ (−1/3, +∞) - 3p
f″(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−1/3, +∞), deci funcția f este concavă - 2p
Simulări, modele de subiect și subiecte de rezervă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 1/(x² + 4x + 5).
Arătați că f′(x) = −2(x + 2)/(x² + 4x + 5)², x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = [1′·(x² + 4x + 5) − 1·(x² + 4x + 5)′]/(x² + 4x + 5)² = - 2p
= [0 − (2x + 4)]/(x² + 4x + 5)² = −2(x + 2)/(x² + 4x + 5)², x ∈ ℝ - 3p
Arătați că lim_{x→+∞} (x² − 1)·f(x) = 1.
Arată baremul
lim_{x→+∞} (x² − 1)·f(x) = lim_{x→+∞} (x² − 1)/(x² + 4x + 5) = lim_{x→+∞} [x²(1 − 1/x²)]/[x²(1 + 4/x + 5/x²)] = - 3p
= lim_{x→+∞} (1 − 1/x²)/(1 + 4/x + 5/x²) = 1 - 2p
Demonstrați că 5f(x) + f(−x) ≤ 2, pentru orice x ∈ [0,+∞).
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = −2; pentru orice x ∈ (−∞,−2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞,−2] și, pentru orice x ∈ [−2,+∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−2,+∞) - 2p
x ∈ [0,+∞) ⇒ −x ∈ (−∞,0], deci f(x) ≤ f(0) și f(−x) ≤ f(−2) și, cum f(0) = 1/5 și f(−2) = 1, obținem 5f(x) + f(−x) ≤ 2, pentru orice x ∈ [0,+∞) - 3p
1. Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = (x² − 3)/x³.
Arătați că f′(x) = (9 − x²)/x⁴, x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
Reguli generale:
1.a)
f′(x) = [2x·x³ − (x² − 3)·3x²]/(x³)² = - 3p
= x²(2x² − 3x² + 9)/x⁶ = (9 − x²)/x⁴, x ∈ (0, +∞) - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 8x − 10
Reguli generale:
1.b)
f(1) = −2, f′(1) = 8 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = 8x − 10 - 3p
Demonstrați că 9f(2x) − f(x) ≤ 4, pentru orice x ∈ [1, 2].
Arată baremul
Reguli generale:
1.c)
f′(x) = 0 ⇒ x = 3; pentru orice x ∈ (0, 3], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0, 3] și, pentru orice x ∈ [3, +∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [3, +∞) - 2p
x ∈ [1, 2] ⇒ 2x ∈ [2, 4], deci f(x) ≥ f(1) și f(2x) ≤ f(3), pentru orice x ∈ [1, 2] și, cum f(1) = −2 și f(3) = 2/9, obținem 9f(2x) − f(x) ≤ 4, pentru orice x ∈ [1, 2] - 3p
Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = 3/x − 1 + 3ln x.
Arătați că f′(x) = 3(x − 1)/x², x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 3(−1/x²) + 3·1/x = - 3p
= (3x − 3)/x² = 3(x − 1)/x², x ∈ (0, +∞) - 2p
Arătați că lim_{x→+∞} f(x)/x = 0.
Arată baremul
lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} f′(x)/x′ = lim_{x→+∞} 3(x − 1)/x² = - 3p
= lim_{x→+∞} 3(1/x − 1/x²) = 0 - 2p
Demonstrați că ln x ≥ 1 − 1/x, pentru orice x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p
f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(1) = 2, obținem f(x) ≥ 2, deci ln x ≥ 1 − 1/x, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 3p
Se consideră funcția f : (1, +∞) → ℝ, f(x) = (5x − 2)/(x − 1).
Arătați că f′(x) = −3/(x − 1)², x ∈ (1, +∞).
Arată baremul
f′(x) = ((5x − 2)′(x − 1) − (5x − 2)(x − 1)′)/(x − 1)² = - 3p
= (5(x − 1) − (5x − 2))/(x − 1)² = −3/(x − 1)², x ∈ (1, +∞) - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = −3x + 14
f(2) = 8, f′(2) = −3 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(2) = f′(2)(x − 2), adică y = −3x + 14 - 3p
Demonstrați că funcția f este convexă.
Arată baremul
f″(x) = 6/(x − 1)³, pentru orice x ∈ (1, +∞) - 3p
f″(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (1, +∞), deci funcția f este convexă - 2p
Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = 2x² − 2 − ln x.
Arătați că f′(x) = ((2x − 1)(2x + 1))/x, x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
1. a)
f′(x) = 4x − 1/x = - 3p
= (4x² − 1)/x = ((2x − 1)(2x + 1))/x, x ∈ (0, +∞) - 2p
Arătați că lim(x → 1) [(f(x) + ln x)/(3x − 3)] = 4/3.
Arată baremul
1. b)
lim(x → 1) [(f(x) + ln x)/(3x − 3)] = lim(x → 1) [(2x² − 2)/(3x − 3)] = lim(x → 1) [2(x − 1)(x + 1)/(3(x − 1))] = - 3p
= lim(x → 1) [2(x + 1)/3] = 4/3 - 2p
Arătați că (4x² − 1)/2 ≥ ln(2x), pentru orice x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
1. c)
f′(x) = 0 ⇒ x = 1/2; pentru orice x ∈ (0, 1/2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1/2] și, pentru orice x ∈ [1/2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1/2, +∞) - 2p
f(x) ≥ f(1/2), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(1/2) = −3/2 − ln(1/2), obținem (4x² − 1)/2 ≥ ln(2x), pentru orice x ∈ (0, +∞) - 3p
1. Se consideră funcția f : (4, +∞) → ℝ, f(x) = (3x − 4)/(x − 4).
Arătați că f′(x) = −8/(x − 4)², x ∈ (4, +∞).
Arată baremul
1.a)
f′(x) = [3(x − 4) − (3x − 4)]/(x − 4)² = - 3p
= (3x − 12 − 3x + 4)/(x − 4)² = −8/(x − 4)², x ∈ (4, +∞) - 2p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 3
b)
lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (3x − 4)/(x − 4) = lim_{x→+∞} (3 − 4/x)/(1 − 4/x) = 3 - 3p
Dreapta de ecuație y = 3 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p
Demonstrați că funcția g : (4, +∞) → ℝ, g(x) = f′(x) este crescătoare.
Arată baremul
c)
g′(x) = f″(x) = 16/(x − 4)³, x ∈ (4, +∞) - 3p
g′(x) > 0, pentru orice x ∈ (4, +∞), deci funcția g este crescătoare - 2p
Se consideră funcția f : (2, +∞) → ℝ, f(x) = eˣ/(x² − 3).
Arătați că f′(x) = eˣ(x² − 2x − 3)/(x² − 3)², x ∈ (2, +∞).
Arată baremul
1.a) f′(x) = [eˣ(x² − 3) − eˣ·2x]/(x² − 3)² = - 3p
= eˣ(x² − 2x − 3)/(x² − 3)², x ∈ (2, +∞) - 2p
Arătați că lim (x → +∞) [xf(x)/eˣ] = 0.
Arată baremul
b) lim (x → +∞) [xf(x)/eˣ] = lim (x → +∞) [(x·eˣ/(x² − 3))/eˣ] = lim (x → +∞) [x/(x²(1 − 3/x²))] = - 3p
= lim (x → +∞) [1/(x(1 − 3/x²))] = 0 - 2p
Demonstrați că e^(x − 3)/(x² − 3) ≥ 1/6, pentru orice x ∈ (2, +∞).
Arată baremul
c) f′(x) = 0 ⇔ x = 3; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (2, 3] ⇒ f este descrescătoare pe (2, 3];
f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [3, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [3, +∞) - 3p
f(3) = e³/6, deci f(x) ≥ e³/6, pentru orice x ∈ (2, +∞), de unde obținem e^(x − 3)/(x² − 3) ≥ 1/6, pentru orice x ∈ (2, +∞) - 2p
Se consideră funcția f : (0,+∞) → ℝ, f(x) = x − 2ln x.
Arătați că f′(x) = (x − 2)/x, x ∈ (0,+∞).
Arată baremul
1.a)
f′(x) = x′ − 2 · (ln x)′ = - 2p
= 1 − 2 · 1/x = (x − 2)/x, x ∈ (0,+∞) - 3p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = −x + 2
1.b)
f(1) = 1, f′(1) = −1 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = −x + 2 - 3p
Demonstrați că ln(x/2) ≤ (x − 2)/2, pentru orice x ∈ (0,+∞).
Arată baremul
1.c)
f′(x) = 0 ⇔ x = 2; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0,2] ⇒ f este descrescătoare pe (0,2];
f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [2,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [2,+∞) - 3p
f(2) = 2 − 2ln 2, deci 2 − 2ln 2 ≤ f(x), pentru orice x ∈ (0,+∞), de unde obținem
ln(x/2) ≤ (x − 2)/2, pentru orice x ∈ (0,+∞) - 2p
Se consideră funcția f : (−2,+∞) → ℝ, f(x) = (x²−2x+1)/(x+2).
Arătați că f′(x) = (x²+4x−5)/(x+2)², x ∈ (−2,+∞).
Arată baremul
f′(x) = ((2x−2)(x+2)−(x²−2x+1)·1)/(x+2)² = - 3p
= (2x²+4x−2x−4−x²+2x−1)/(x+2)² = (x²+4x−5)/(x+2)², x ∈ (−2,+∞) - 2p
Arătați că lim_{x→+∞} f(x)/eˣ = 0.
Arată baremul
lim_{x→+∞} f(x)/eˣ = lim_{x→+∞} (x²−2x+1)/(eˣ(x+2)) = lim_{x→+∞} (2x−2)/(eˣ(x+3)) = - 3p
= lim_{x→+∞} 2/(eˣ(x+4)) = 0 - 2p
Demonstrați că funcția f este convexă.
Arată baremul
f″(x) = 18/(x+2)³, x ∈ (−2,+∞) - 3p
f″(x) > 0, pentru orice x ∈ (−2,+∞), de unde obținem că funcția f este convexă - 2p
1. Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = 2x − 1 + 8/x.
Arătați că f′(x) = 2(x² − 4)/x², x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 2 − 8/x² = - 3p
= (2x² − 8)/x² = 2(x² − 4)/x², x ∈ (0, +∞) - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 7
f(2) = 7, f′(2) = 0 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(2) = f′(2)(x − 2), adică y = 7 - 3p
Demonstrați că f(1 − x) ≥ f(1 + x), pentru orice x ∈ (0, 1).
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇒ x = 2; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0, 2] ⇒ f este descrescătoare pe (0, 2] - 2p
0 < 1 − x < 1 + x < 2, pentru orice x ∈ (0, 1), de unde obținem f(1 − x) ≥ f(1 + x), pentru orice x ∈ (0, 1) - 3p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x/(x² + 1).
Arătați că f′(x) = 3(1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = [3(x² + 1) − 3x·2x]/(x² + 1)² = - 3p
= (3 − 3x²)/(x² + 1)² = 3(1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 0
lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) 3x/(x² + 1) = lim(x → +∞) 3/[x(1 + 1/x²)] = 0 - 3p
Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p
Determinați intervalele de monotonie a funcției f.
Arată baremul
Răspuns: Descrescătoare pe (−∞, −1] și pe [1, +∞); crescătoare pe [−1, 1].
f′(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 1 - 2p
f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −1] ⇒ f este descrescătoare pe (−∞, −1]; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, 1] ⇒ f este crescătoare pe [−1, 1]; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 3p
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (x − 1)eˣ − x²/2.
Arătați că f′(x) = x(eˣ − 1), x ∈ ℝ.
Arată baremul
Reguli generale:
SUBIECTUL al III-lea, 1. a)
f′(x) = eˣ + (x − 1)eˣ − 2x/2 = - 3p
= xeˣ − x = x(eˣ − 1), x ∈ ℝ - 2p
Arătați că lim(x → 0) [(f(x) − f(0))/x²] = 0.
Arată baremul
Reguli generale:
SUBIECTUL al III-lea, 1. b)
lim(x → 0) [(f(x) − f(0))/x²] = lim(x → 0) [f′(x)/(x²)′] = - 2p
= lim(x → 0) [x(eˣ − 1)/(2x)] = lim(x → 0) [(eˣ − 1)/2] = 0 - 3p
Arătați că f(x) ≤ f(x²), pentru orice x ∈ (−∞,0].
Arată baremul
Reguli generale:
SUBIECTUL al III-lea, 1. c)
f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ ℝ ⇒ f este crescătoare pe ℝ - 2p
Cum x ≤ 0 ≤ x², pentru orice x ∈ (−∞,0], obținem f(x) ≤ f(x²), pentru orice x ∈ (−∞,0] - 3p
Se consideră funcția f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = (x + 3)/x² + ln x.
Arătați că f′(x) = (x² − x − 6)/x³, x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
1. a)
f′(x) = (x² − (x + 3)·2x)/x⁴ + 1/x = - 3p
= (−x − 6)/x³ + 1/x = (x² − x − 6)/x³, x ∈ (0, +∞). - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = −6x + 10
1. b)
f(1) = 4, f′(1) = −6. - 2p
Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = −6x + 10. - 3p
Demonstrați că ln(x/3) ≥ 2/3 − 1/x − 3/x², pentru orice x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
1. c)
f′(x) = 0 ⇒ x = 3; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0, 3] ⇒ f este descrescătoare pe (0, 3],
f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [3, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [3, +∞), deci f(x) ≥ f(3), pentru orice x ∈ (0, +∞). - 3p
(x + 3)/x² + ln x ≥ 2/3 + ln 3 ⇒ ln(x/3) ≥ 2/3 − (x + 3)/x² ⇒ ln(x/3) ≥ 2/3 − 1/x − 3/x², pentru orice x ∈ (0, +∞). - 2p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = eˣ + x/(x² + 1).
Arătați că f′(x) = eˣ + (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ.
Arată baremul
f′(x) = eˣ + (1·(x² + 1) − x·2x)/(x² + 1)² = - 3p
= eˣ + (x² + 1 − 2x²)/(x² + 1)² = eˣ + (1 − x²)/(x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 0
lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→−∞} (eˣ + x/(x² + 1)) = lim_{x→−∞} (eˣ + 1/(x + 1/x)) = 0 - 3p
Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre −∞ la graficul funcției f - 2p
Demonstrați că (2 − e)/(2e) ≤ f(x) ≤ (2e + 1)/2, pentru orice x ∈ [−1, 1].
Arată baremul
x ∈ [−1, 1] ⇒ 1 − x² ≥ 0 ⇒ f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe [−1, 1] ⇒ f(−1) ≤ f(x) ≤ f(1), pentru orice x ∈ [−1, 1] - 3p
Cum f(−1) = (2 − e)/(2e) și f(1) = (2e + 1)/2, obținem (2 − e)/(2e) ≤ f(x) ≤ (2e + 1)/2, pentru orice x ∈ [−1, 1] - 2p
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = eˣ + x⁴ − 2x + 2.
Arătați că f′(x) = eˣ + 4x³ − 2, x ∈ ℝ.
Arată baremul
1. a)
f′(x) = (eˣ)′ + (x⁴)′ − (2x)′ + (2)′ = - 2p
= eˣ + 4x³ − 2 + 0 = eˣ + 4x³ − 2, x ∈ ℝ - 3p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = −x + 3
b)
f(0) = 3, f′(0) = −1 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = −x + 3 - 3p
Demonstrați că funcția f este convexă.
Arată baremul
c)
f″(x) = eˣ + 12x², x ∈ ℝ - 3p
f″(x) ≥ 0, pentru orice număr real x, deci funcția f este convexă - 2p
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2/(2x² + 1).
Arătați că f′(x) = −8x/(2x² + 1)², x ∈ ℝ.
Arată baremul
1.a)
f′(x) = [2′·(2x² + 1) − 2·(2x² + 1)′]/(2x² + 1)² = - 3p
= (−2·4x)/(2x² + 1)² = −8x/(2x² + 1)², x ∈ ℝ - 2p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 2
b)
f(0) = 2, f′(0) = 0 - 2p
Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 2 - 3p
Arătați că limₓ→₊∞ (xf(x) ln x) = 0.
Arată baremul
c)
limₓ→₊∞ (xf(x) ln x) = limₓ→₊∞ [2x ln x/(2x² + 1)] = limₓ→₊∞ [(2 ln x + 2)/(4x)] = - 3p
= limₓ→₊∞ 1/(2x) = 0 - 2p
Exersează zilnic cu Academos
Aplicația pentru Evaluarea Națională și Bac. În curând pe:
