c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p
lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f(1) = 2 și f este continuă, de unde obținem că imaginea funcției f este [2, +∞) - 3p
Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = a, situat pe graficul funcției f, are panta egală cu 0.
Arată baremul
Răspuns: a ∈ {−3/2, 1}
f′(a) = 0, deci eᵃ(2a + 3)(a − 1) = 0 - 3p
a = −3/2 sau a = 1 - 2p
Demonstrați că −4e² ≤ f(x) ≤ e³, pentru orice x ∈ [−3, 4].
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 4; pentru orice x ∈ [−3, −2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−3, −2] și, pentru orice x ∈ [−2, 4], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−2, 4] - 3p
f(−3) = e³, f(−2) = −4e² și f(4) = 8/e⁴ < e³, de unde obținem −4e² ≤ f(x) ≤ e³, pentru orice x ∈ [−3, 4] - 2p
Determinați a ∈ (0, +∞) pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul A(a, f(a)) este paralelă cu axa Ox.
Arată baremul
Răspuns: a = 2/3
Tangenta la graficul funcției f în punctul A(a, f(a)) este paralelă cu axa
Ox ⇔ f′(a) = 0, a ∈ (0, +∞) - 3p
(−3a² − a + 2)/((a² + a + 2)²√a) = 0, de unde obținem a = −1, care nu convine, sau a = 2/3, care convine - 2p
Demonstrați că f(x)+f(y) ≤ −21/4, pentru orice x ∈ (0,1] și orice y ∈ [1,2].
Arată baremul
Reguli generale:
1. c)
f′(x) = 0 ⇔ x = 1/2 sau x = 1; pentru orice x ∈ (0,1/2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0,1/2], pentru orice x ∈ [1/2,1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [1/2,1] și, pentru orice x ∈ [1,2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,2] - 3p
Pentru orice x ∈ (0,1] și orice y ∈ [1,2], rezultă f(x) ≤ f(1/2) și f(y) ≤ f(2) și, cum f(1/2) = −9/4−ln 2 și f(2) = −3+ln 2, obținem f(x)+f(y) ≤ −21/4 - 2p
Arătați că 4f(x) − 1 ≥ ln 16, pentru orice x ∈ (0, +∞).
Pagina din subiectul oficial.Arată baremul
c)
f′(x) = 0 ⇒ x = 2; pentru orice x ∈ (0, 2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 2] și, pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 3p
f(x) ≥ f(2), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(2) = 1/4 + ln 2, obținem 4f(x) − 1 ≥ ln 16, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 2p
Arătați că f(x) − f(4 − x) ≤ 1, pentru orice x ∈ [4, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇒ x = −2 sau x = 2; pentru orice x ∈ (−∞, −2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (−∞, −2]; pentru orice x ∈ [−2, 2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−2, 2]; pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [2, +∞) - 2p
x ∈ [4, +∞) ⇒ 4 − x ∈ (−∞, 0], deci f(x) ≤ f(4) și f(4 − x) ≥ f(−2) și, cum f(−2) = −2/3 și f(4) = 1/3, obținem f(x) − f(4 − x) ≤ 1, pentru orice x ∈ [4, +∞) - 3p
Arătați că x² − x ≥ 2ln((x + 1)/2), pentru orice x ∈ (−1, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇒ x = 1; pentru orice x ∈ (−1, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (−1, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p
Pentru orice x ∈ (−1, +∞), f(x) ≥ f(1) și, cum f(1) = −2ln2, obținem x² − x ≥ 2ln((x + 1)/2), pentru orice x ∈ (−1, +∞) - 3p
Demonstrați că e^(x+4)(x² + 2x − 2) ≤ 6, pentru orice x ∈ (−∞, 0].
Arată baremul
1. c)
f′(x) = 0 ⇔ x = −4 sau x = 0; pentru x ∈ (−∞, −4] ⇒ f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −4] și, pentru x ∈ [−4, 0] ⇒ f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−4, 0] - 2p
f(x) ≤ f(−4), pentru orice x ∈ (−∞, 0] și f(−4) = 6/e⁴, deci e^(x+4)(x² + 2x − 2) ≤ 6, pentru orice x ∈ (−∞, 0] - 3p
Demonstrați că |f(x) − f(y)| ≤ 1, pentru orice x, y ∈ [1, +∞).
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = 2; pentru orice x ∈ [1, 2], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe [1, 2] și pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [2, +∞) - 2p
f(1) = 5, f(2) = 6 și lim(x → +∞) f(x) = 5, deci 5 ≤ f(x) ≤ 6, pentru orice x ∈ [1, +∞), de unde obținem |f(x) − f(y)| ≤ 1, pentru orice x, y ∈ [1, +∞) - 3p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.
Arată baremul
Răspuns: y = 3
b) limₓ→₊∞ f(x) = limₓ→₊∞ 3x²/(x² + x − 2) = limₓ→₊∞ 3/(1 + 1/x − 2/x²) = 3 - 3p
Dreapta de ecuație y = 3 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p
Demonstrați că f(x) + f(x²) ≥ 17/3, pentru orice x ∈ (1, 2].
Arată baremul
c) f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (1, 4] ⇒ f este descrescătoare pe (1, 4] - 2p
1 < x ≤ 2 ⇒ 1 < x² ≤ 4, deci f(x) ≥ f(2) și f(x²) ≥ f(4) și, cum f(2) = 3 și f(4) = 8/3,
obținem f(x) + f(x²) ≥ 17/3, pentru orice x ∈ (1, 2] - 3p
Demonstrați că (x² + 1)/(x − 1) + ln(x − 1) ≥ 5, pentru orice x ∈ (1, +∞).
Arată baremul
c) f′(x) = 0 ⇒ x = 2; pentru x ∈ (1, 2] ⇒ f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (1, 2] și pentru x ∈ [2, +∞) ⇒ f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 3p
f(x) ≥ f(2), pentru orice x ∈ (1, +∞), de unde obținem (x² + 1)/(x − 1) + ln(x − 1) ≥ 5, pentru orice x ∈ (1, +∞) - 2p
c)
f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (0, +∞) ⇒ f este strict crescătoare, deci f este injectivă - 2p
f este continuă, lim_{x→0} f(x) = −∞ și lim_{x→+∞} f(x) = +∞, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p
Demonstrați că 2x² + x ≥ 3 + 5 ln x, pentru orice x ∈ (0,+∞).
Arată baremul
Reguli generale:
c)
f′(x) = 0 ⇒ x = 1; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0,1] ⇒ f este descrescătoare pe (0,1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [1,+∞), deci f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ (0,+∞) - 3p
f(1) = 6, deci 2x² + x + 3 − 5 ln x ≥ 6, de unde obținem 2x² + x ≥ 3 + 5 ln x, pentru orice x ∈ (0,+∞) - 2p
Demonstrați că x² + 4x + 15/4 ≥ (1/2)ln(2x + 4), pentru orice x ∈ (−2, +∞).
Arată baremul
f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−2, −3/2] ⇒ f este descrescătoare pe (−2, −3/2] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−3/2, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [−3/2, +∞), f(−3/2) = −15/4 + (1/2)ln 2 - 3p
Pentru orice x ∈ (−2, +∞), f(x) ≥ f(−3/2), deci x² + 4x − (1/2)ln(x + 2) ≥ −15/4 + (1/2)ln 2, de unde obținem x² + 4x + 15/4 ≥ (1/2)ln(2x + 4), pentru orice x ∈ (−2, +∞) - 2p
Demonstrați că x³ ≥ 3ln x + 1, pentru orice x ∈ (0, +∞).
Arată baremul
1. c)
f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru x ∈ (0, 1], obținem f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și pentru x ∈ [1, +∞), obținem f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 3p
f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(1) = 1, obținem că x³ ≥ 3ln x + 1, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 2p
Demonstrați că e^(x+3)(x² + x − 1) ≤ 5, pentru orice x ∈ (−∞, 0].
Arată baremul
c)
f′(x) = 0 ⇔ x = −3 sau x = 0; pentru orice x ∈ (−∞, −3], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −3] și, pentru orice x ∈ [−3, 0], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−3, 0] - 3p
f(x) ≤ f(−3), pentru orice x ∈ (−∞, 0] și, cum f(−3) = 5/e³, obținem e^(x+3)(x² + x − 1) ≤ 5, pentru orice x ∈ (−∞, 0] - 2p
Demonstrați că 1/x² − 1/x ≥ 4ln((x+3)/(x²+3)), pentru orice x ∈ (0, 1].
Arată baremul
f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] - 2p
Cum x ∈ (0, 1] ⇒ x ≥ x², rezultă că f(x) ≤ f(x²), de unde obținem 1/x² − 1/x ≥ 4ln((x+3)/(x²+3)), pentru orice x ∈ (0, 1] - 3p
Arătați că f(x + 2) − f(x) ≤ 26, pentru orice x ∈ (0,2].
Arată baremul
c) f′(x) = 0 ⇒ x = 1; pentru orice x ∈ (0,1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0,1] și, pentru orice x ∈ [1,+∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,+∞) - 2p
x ∈ (0,2] ⇒ x + 2 ∈ (2,4], deci f(x) ≥ f(1) și f(x + 2) ≤ f(4) și, cum f(1) = −4 și f(4) = 22, obținem f(x + 2) − f(x) ≤ 26, pentru orice x ∈ (0,2] - 3p
Demonstrați că f(x) − f(y) ≤ (3 − e)/(3e), pentru orice numere reale x și y, cu x ≤ 0 ≤ y.
Arată baremul
1.c)
f′(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 0; pentru orice x ∈ (−∞, −1], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −1], pentru orice x ∈ [−1, 0], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−1, 0] și, pentru orice x ∈ [0, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [0, +∞) - 2p
x ∈ (−∞, 0], deci f(x) ≤ f(−1) și y ∈ [0, +∞), deci f(y) ≥ f(0) și, cum f(−1) = 1/e și f(0) = 1/3, obținem f(x) − f(y) ≤ 1/e − 1/3, deci f(x) − f(y) ≤ (3 − e)/(3e), pentru orice numere reale x și y, cu x ≤ 0 ≤ y - 3p
Demonstrați că (x² + x − 2)/x ≤ 3ln x, pentru orice x ∈ (0,2].
Arată baremul
c)
f′(x) = 0 ⇔ x = 1 sau x = 2; pentru orice x ∈ (0,1], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe (0,1] și pentru orice x ∈ [1,2], f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [1,2], de unde obținem f(x) ≤ f(1), pentru orice x ∈ (0,2] - 3p
f(1) = −1, deci (x² − 2)/x − 3ln x ≤ −1, de unde obținem (x² + x − 2)/x ≤ 3ln x, pentru orice x ∈ (0,2] - 2p
Arătați că −32/e^(x+4) ≤ x²(x + 2) ≤ 1/e^(x+1), pentru orice x ∈ [−4, 0].
Arată baremul
SUBIECTUL al III-lea, 1. c)
f′(x) = 0 ⇔ x = −4 sau x = −1 sau x = 0; pentru x ∈ [−4, −1] ⇒ f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−4, −1] și pentru x ∈ [−1, 0] ⇒ f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−1, 0] - 2p
f(−4) = −32/e⁴, f(−1) = 1/e și f(0) = 0, deci −32/e⁴ ≤ f(x) ≤ 1/e, de unde obținem
−32/e^(x+4) ≤ x²(x + 2) ≤ 1/e^(x+1), pentru orice x ∈ [−4, 0] - 3p
c)
f′(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (0,+∞), deci f este injectivă - 2p
lim_{x→0} f(x)=−∞, lim_{x→+∞} f(x)=+∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p
Demonstrați că f(x) − x ≤ √(e/2), pentru orice x ∈ (−1,+∞).
Arată baremul
1.c)
g : (−1,+∞) → ℝ, g(x) = f(x) − x ⇒ g′(x) = −(2x + 1)/(2eˣ√(x + 1)); g′(x) = 0 ⇔ x = −1/2 - 2p
g′(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ (−1,−1/2] ⇒ g este crescătoare pe (−1,−1/2], g′(x) ≤ 0 pentru orice x ∈ [−1/2,+∞) ⇒ g este descrescătoare pe [−1/2,+∞), deci g(x) ≤ g(−1/2) pentru orice x ∈ (−1,+∞) și, cum g(−1/2) = √(e/2), obținem f(x) − x ≤ √(e/2), pentru orice x ∈ (−1,+∞) - 3p
Demonstrați că (ln y)/y − (ln x)/x < 1/x − 1/y, pentru orice x, y ∈ (1, +∞) cu x < y.
Arată baremul
f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (1, +∞) ⇒ f este strict descrescătoare pe (1, +∞) - 2p
1 < x < y ⇒ f(x) > f(y), deci (ln y)/y − (ln x)/x < 1/x − 1/y, pentru orice x, y ∈ (1, +∞) cu x < y - 3p
Determinați numărul natural nenul n, știind că tangenta la graficul funcției f în punctul A(n, f(n)) este paralelă cu dreapta de ecuație y = (1/5)x + 1.
Arată baremul
Răspuns: 2
Tangenta la graficul funcției f în punctul A este paralelă cu dreapta de ecuație y = (1/5)x + 1, deci f′(n) = 1/5 - 3p
5(n − 1)² = n² + 1 ⇔ 2n² − 5n + 2 = 0 și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 2 - 2p
f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (0, 1) ⇒ f strict crescătoare pe (0, 1), f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (1, +∞) ⇒ f strict crescătoare pe (1, +∞) și, cum f este continuă în x = 1, obținem că f este strict crescătoare pe (0, +∞), deci injectivă - 2p
Cum lim_{x→0} f(x) = 0, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă și strict crescătoare pe (0, +∞), obținem că f este surjectivă, deci bijectivă - 3p
Demonstrați că √x/(x² + 3) > √(x + 1/x)/(x² + 1/x² + 5), pentru orice x ∈ (1,+∞).
Arată baremul
f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (1,+∞) ⇒ f este strict descrescătoare pe (1,+∞) - 2p
1 < x < x + 1/x ⇒ f(x) > f(x + 1/x), deci √x/(x² + 3) > √(x + 1/x)/(x² + 1/x² + 5), pentru orice x ∈ (1,+∞) - 3p
Demonstrați că √((x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2) − √(4x² + 4x + 2) ≤ (x − 1)², pentru orice număr real x.
Arată baremul
f′(x) < 0, pentru orice număr real x, deci f este descrescătoare pe ℝ și, cum x² + 1 ≥ 2x, obținem f(x² + 1) ≤ f(2x), pentru orice număr real x - 3p
Cum f(x² + 1) = √((x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2) − (x² + 1) și f(2x) = √((2x)² + 2·2x + 2) − 2x, obținem
√((x² + 1)² + 2(x² + 1) + 2) − √(4x² + 4x + 2) ≤ (x − 1)², pentru orice număr real x - 2p
Demonstrați că √2 ≤ √((x² + x + 1)/(x² + 1)) + √((x² − x + 1)/(x² + 1)) ≤ √6, pentru orice număr real x.
Arată baremul
f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞, −1] ⇒ f descrescătoare pe (−∞, −1], f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, 1] ⇒ f crescătoare pe [−1, 1] și f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f descrescătoare pe [1, +∞) - 2p
f(−1) = √2/2, f(1) = √6/2 și lim(x → +∞) f(x) = 1 ⇒ √2/2 ≤ f(x) ≤ √6/2, pentru orice număr real x,
deci √2 ≤ f(x) + f(−x) ≤ √6 ⇒ √2 ≤ √((x² + x + 1)/(x² + 1)) + √((x² − x + 1)/(x² + 1)) ≤ √6, pentru orice număr real x - 3p
Demonstrați că eˣ + x ln x ≥ √e + (1/2)ln(1/2), pentru orice x ∈ [1/2, +∞).
Arată baremul
c)
x ∈ [1/2, +∞) ⇒ ln x ≥ ln(1/2), deci f′(x) = eˣ + ln x + 1 ≥ eˣ + ln(e/2) > eˣ > 0, de unde obținem că f este crescătoare pe [1/2, +∞) - 3p
Pentru orice x ∈ [1/2, +∞), f(x) ≥ f(1/2), deci eˣ + x ln x − 1 ≥ √e + (1/2)ln(1/2) − 1, de unde obținem eˣ + x ln x ≥ √e + (1/2)ln(1/2), pentru orice x ∈ [1/2, +∞) - 2p
