Subiectul al II-lea, 1., toate variantele

1.a)

A(1) = ⎛3  0⎞
       ⎝4  2⎠
⇒ det(A(1)) = │3  0│ = 3·2 − 0·4 =
              │4  2│

- 3p = 6 − 0 = 6 - 2p

1.b)

A(−2) = ⎛−3   0⎞
        ⎝−8  −1⎠,
A(−2)·A(1) − 4I₂ = ⎛ −9   0⎞ − ⎛4  0⎞ =
                    ⎝−28  −2⎠   ⎝0  4⎠

- 2p

= ⎛−13   0⎞ = ⎛2·(−7) + 1     0   ⎞ = A(−7),
  ⎝−28  −6⎠   ⎝  4·(−7)     −7 + 1⎠

deci A(x) = A(−7), de unde obținem x = −7 - 3p

1.c)

A(x) + A(1/x) − 2I₂ = ⎛2x + 2/x       0    ⎞
                      ⎝4x + 4/x    x + 1/x⎠,

det(A(x) + A(1/x) − 2I₂) = (2x + 2/x)(x + 1/x) = - 2p = 2(x² + 1/x² + 2) = 2((x − 1/x)² + 4) ≥ 8, pentru orice număr real nenul x - 3p

A(1) = ⎛ 4  −1⎞
       ⎝−2   1⎠
⇒ det(A(1)) = det⎛ 4  −1⎞ = 4 · 1 − (−1) · (−2) =
                 ⎝−2   1⎠

- 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

A(0) = ⎛ 2  0⎞
       ⎝−3  1⎠,
6I₂ − A(2) − A(−2) = ⎛2  0⎞
                      ⎝6  4⎠,
A(0)·(6I₂ − A(2) − A(−2)) = ⎛4  0⎞ = 4I₂ - 3p
                             ⎝0  4⎠

4I₂ = xI₂, de unde obținem x = 4 - 2p

Cum det(A(1)) ≠ 0, X = 4(A(1))⁻¹·(A(1))⁻¹ - 2p

(A(1))⁻¹ = ⎛1/2  1/2⎞
           ⎝ 1    2 ⎠,

de unde obținem

X = ⎛ 3   5⎞
    ⎝10  18⎠ - 3p

A(1) = ⎛ 4  1⎞ ⇒ det(A(1)) = │ 4  1│ = 4·0 − 1·(−1) = - 3p
       ⎝−1  0⎠               │−1  0│

= 0 + 1 = 1 - 2p

A(2) = ⎛ 6   2⎞
       ⎝−2  −2⎠,
A(2)·A(1) = ⎛22   6⎞
            ⎝−6  −2⎠ - 3p
Cum A(−2) = ⎛−2  −2⎞
            ⎝ 2   6⎠,
obținem A(2)·A(1) + 3A(−2) = ⎛16   0⎞ = 16I₂ - 2p
                            ⎝ 0  16⎠

B(m) este inversa matricei A(m) ⇔ A(m)·B(m) = B(m)·A(m) = I₂ ⇔ ((4 − 3m²)/m)I₂ = I₂ - 3p (4 − 3m²)/m = 1, de unde obținem m = −4/3, care nu convine, sau m = 1, care convine - 2p

det A = |−2 8; −1 3| = (−2) · 3 − 8 · (−1) = - 3p = −6 + 8 = 2 - 2p

I₂ − A = ⎛3  −8⎞
         ⎝1  −2⎠,
B = ⎛3/2  −4⎞
    ⎝1/2  −1⎠ - 3p

A · B = B · A = I₂, deci matricea B este inversa matricei A - 2p

Cum A − I₂ = −2A⁻¹, obținem −2A⁻¹ · X = 2A, deci X = −A · A - 3p

X = ⎛4  −8⎞
    ⎝1  −1⎠ - 2p

Reguli generale:

1. a)

A(2) = ⎛−1  6⎞
       ⎝−2  9⎠ ⇒ det(A(1)) = |−1  6; −2  9| = (−1)·9 − 6·(−2) = - 3p

= −9 + 12 = 3 - 2p

Reguli generale:

1. b) xA(y)−A(xy) =

⎛x−xy     3xy ⎞   ⎛1−xy     3xy ⎞
⎝ −xy   x+4xy⎠ − ⎝ −xy   1+4xy⎠ =
⎛x−1    0 ⎞
⎝ 0    x−1⎠ = - 3p
= (x−1)⎛1  0⎞
       ⎝0  1⎠ = (x−1)I₂, pentru orice numere reale x și y - 2p

Reguli generale:

1. c) A(1)·A(x−1) =

⎛ 0  3⎞ ⎛ 2−x   3x−3⎞
⎝−1  5⎠·⎝−x+1   4x−3⎠ =
⎛3−3x   12x−9 ⎞
⎝3−4x   17x−12⎠,

pentru orice număr real x - 3p

⎛3−3x   12x−9 ⎞   ⎛x−x²     3x² ⎞
⎝3−4x   17x−12⎠ = ⎝ −x²   4x²+x⎠,

de unde obținem x = 1 sau x = 3 - 2p

1. a) det A = |1 1| |1 2| = 1 · 2 − 1 · 1 = - 3p = 2 − 1 = 1 - 2p

1. b)

B(x) − xA = ⎛1     4   ⎞
            ⎝x  2x − 3⎠,

de unde obținem det(B(x) − xA) = −2x − 3, pentru orice număr real x - 3p −2x − 3 = x, de unde obținem x = −1 - 2p

1. c)

A · A = ⎛2  3⎞
        ⎝3  5⎠,
2A · A · A = ⎛10  16⎞
             ⎝16  26⎠ - 3p
B(x) + B(x + 2) = ⎛2x + 4  2x + 10⎞
                  ⎝4x + 4   8x + 2⎠,

deci

⎛2x + 4  2x + 10⎞ = ⎛10  16⎞
⎝4x + 4   8x + 2⎠   ⎝16  26⎠

și obținem x = 3 - 2p

1.a) B(1) = [1, 2; −2, 3] ⇒ det(B(1)) = |1, 2; −2, 3| = 1 · 3 − 2 · (−2) = - 3p = 3 + 4 = 7 - 2p

b) B(0) = [0, 1; −3, −1], B(0) · B(1) = [−2, 3; −1, −9] - 3p B(2) − B(0) · B(1) = [4, 0; 0, 16] = 4A - 2p

c) C(a) = [0, a + 1; a − 3, −1] ⇒ det(C(a)) = −(a − 3)(a + 1), pentru orice număr real a - 3p det(C(a)) = 0, de unde obținem a = −1 sau a = 3 - 2p

det A = │2  −1│ = 2·0−(−1)·1= - 3p
        │1   0│

=0+1=1 - 2p

B(4) = ⎛ 4  1⎞, B(4)·B(4) = ⎛15   4⎞ - 3p
       ⎝−1  0⎠              ⎝−4  −1⎠
B(4)·B(4)+I₂ = ⎛16  4⎞ = 4B(4), deci 4B(4)=aB(4), de unde obținem a=4 - 2p
               ⎝−4  0⎠

A·B(x) = ⎛3x−3  x−2⎞, B(x)·A = ⎛3x−3   −x⎞, pentru orice număr real x - 3p
         ⎝  x   x−3⎠           ⎝−x+2  x−3⎠

Cum

⎛3x−3  x−2⎞ = ⎛3x−3   −x⎞,
⎝  x   x−3⎠   ⎝−x+2  x−3⎠

obținem x=1 - 2p

Reguli generale:

1. a)

A(2) = ⎛ −1  2 ⎞
       ⎝ −6  7 ⎠

⇒ det(A(2)) = | −1 2 ; −6 7 | = (−1) · 7 − 2 · (−6) = - 3p = −7 + 12 = 5 - 2p

Reguli generale:

b)

A(a) − I₂ = ⎛ −a   a  ⎞ = a ⎛ −1  1 ⎞
            ⎝ −3a  3a ⎠     ⎝ −3  3 ⎠,

pentru orice număr real a - 2p

A(1) = ⎛ 0   1 ⎞ ⇒ a(A(1) − I₂) = a ⎛ −1  1 ⎞,
       ⎝ −3  4 ⎠                     ⎝ −3  3 ⎠

deci A(a) − I₂ = a(A(1) − I₂), pentru orice număr real a - 3p

Reguli generale:

c) A(m) · A(2m) = A(4m² + 3m), pentru orice număr întreg m - 3p A(4m² + 3m) = A(1) și, cum m este număr întreg, obținem m = −1 - 2p

1. a)

A(0) = ⎛3  2⎞
       ⎝1  1⎠

⇒ det(A(0)) = |3 2; 1 1| = 3·1 − 2·1 = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

1. b)

A(a) − A(0) = ⎛ a  −2a⎞
              ⎝−a   3a⎠ - 2p
A(0)·(A(a) − A(0)) = ⎛a  0⎞ = a⎛1  0⎞ = aI₂, pentru orice număr real a - 3p
                     ⎝0  a⎠    ⎝0  1⎠

1. c)

A(a²) = ⎛3 + a²  2 − 2a²⎞,
        ⎝1 − a²  1 + 3a²⎠
A(a²) − aA(a) = ⎛3 − 3a  2 − 2a⎞
                 ⎝1 − a   1 − a ⎠ - 2p

det(A(a²) − aA(a)) = 3(1 − a)² − 2(1 − a)² = (1 − a)² ≥ 0, pentru orice număr real a - 3p

1. a)

B(2) = ⎛3  5⎞
       ⎝1  3⎠

⇒ det(B(2)) = |3 5; 1 3| = 3·3 − 5·1 = - 3p = 9 − 5 = 4 - 2p

1. b)

B(0)·B(1) = ⎛ 1   1⎞⎛2  3⎞ = ⎛ 2   4⎞ = 2⎛ 1   2⎞ = 2A - 3p
            ⎝−1  −1⎠⎝0  1⎠   ⎝−2  −4⎠    ⎝−1  −2⎠

aA = 2A, de unde obținem a = 2 - 2p

1. c)

A·B(x) = ⎛ 3x−1   6x−1⎞,
         ⎝−3x+1  −6x+1⎠

pentru orice număr real x,

A·(B(0)−3I₂) = ⎛−4  −7⎞ - 3p
                ⎝ 4   7⎠
⎛ 3x−1   6x−1⎞ = ⎛−4  −7⎞,
⎝−3x+1  −6x+1⎠   ⎝ 4   7⎠

de unde obținem x = −1 - 2p

M(1) = ⎛  2   −1 ⎞
       ⎝ −2    3 ⎠
⇒ det(M(1)) = │  2   −1 │
              │ −2    3 │

= 2·3 − (−1)·(−2) = - 3p = 6 − 2 = 4 - 2p

M(x)·M(1) = ⎛ 4x + 2       −4x − 1 ⎞
            ⎝ −8x − 2       8x + 3 ⎠ = - 3p
= ⎛ (4x + 1) + 1       −(4x + 1)      ⎞
  ⎝ −2(4x + 1)         2(4x + 1) + 1  ⎠

= M(4x + 1), pentru orice număr real x - 2p

M(x)·M(1)·M(1) = (M(x)·M(1))·M(1) = M(4x + 1)·M(1) = M(16x + 5), pentru orice număr real x - 3p M(16x + 5) = M(x + 2), de unde obținem 16x + 5 = x + 2, deci x = −1/5 - 2p

1.a) det A = det([[1, −1], [−1, 1]]) = 1·1 − (−1)·(−1) = - 3p = 1 − 1 = 0 - 2p

b) B(0) = [[0, 3], [2, 0]] ⇒ B(x) − B(0) = [[x, −x], [−x, x]] = - 3p = x[[1, −1], [−1, 1]] = xA, pentru orice număr real x - 2p

c) C(a) = [[a, 3 − a], [2 − a, a]]·[[1, 2], [1, 1]] − [[a + 1, 2 − a], [1 − a, a + 1]] = [[2 − a, 2a + 1], [a + 1, 3 − 2a]] ⇒ det(C(a)) = −10a + 5, pentru orice număr întreg a - 3p −10a + 5 = 0 ⇒ a = 1/2 ∉ ℤ, deci matricea C(a) este inversabilă, pentru orice număr întreg a - 2p

1.a)

A(1) = ⎛1  −1⎞ ⇒ det(A(1)) = │1  −1│ = 1·2−(−1)·1 =
       ⎝1   2⎠               │1   2│

3p = 2+1=3 2p

b)

A(−1) = ⎛ 1  1⎞, A(2) = ⎛1  −2⎞
        ⎝−1  0⎠          ⎝2   3⎠
⇒ A(−1)·A(2)−A(−1) = ⎛ 3  1⎞ − ⎛ 1  1⎞ =
                       ⎝−1  2⎠   ⎝−1  0⎠

3p

= ⎛2  0⎞ = 2I₂
  ⎝0  2⎠

2p

c)

A(x)·A(−x)+xA(x) = ⎛1+x²  x²⎞ + ⎛ x   −x² ⎞
                    ⎝ −x²   1⎠   ⎝x²  x²+x⎠
= ⎛1+x+x²     0   ⎞ = (x²+x+1)I₂,
  ⎝   0     1+x+x²⎠

pentru orice număr real x 3p (x²+x+1)I₂=3I₂, de unde obținem x²+x−2=0, deci x=−2 sau x=1 2p

A(0) = [2, 1; −1, 0] ⇒ det(A(0)) = |2, 1; −1, 0| = 2 · 0 − 1 · (−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

A(1) = [3, 2; −2, −1], A(2) = [5, 4; −4, −3], A(1) · A(2) = [7, 6; −6, −5] - 3p A(1) + A(2) − A(1) · A(2) = [3, 2; −2, −1] + [5, 4; −4, −3] − [7, 6; −6, −5] = [1, 0; 0, 1] = I₂ - 2p

A(m) · A(n) = [1 + 2ᵐ + 2ⁿ, 2ᵐ + 2ⁿ; −2ᵐ − 2ⁿ, 1 − 2ᵐ − 2ⁿ], A(m + n) = [1 + 2ᵐ⁺ⁿ, 2ᵐ⁺ⁿ; −2ᵐ⁺ⁿ, 1 − 2ᵐ⁺ⁿ], unde m și n sunt numere naturale - 2p A(m) · A(n) = A(m + n) ⇔ 2ᵐ⁺ⁿ = 2ᵐ + 2ⁿ ⇔ (2ᵐ − 1)(2ⁿ − 1) = 1 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem m = n = 1 - 3p

1.a)

A(1,1) = ⎛ 4   4⎞
         ⎝−2  −2⎠ ⇒ det(A(1,1)) = | 4   4 |

|−2 −2 | = - 2p = −8−(−8) = 0 - 3p

b) det(A(x,y)) = | x+3y 4y | | −2y x−3y | = x²−y², pentru orice numere reale x și y - 2p A(x,y) este inversabilă ⇔ det(A(x,y)) ≠ 0 ⇔ x²−y² ≠ 0, deci |x| ≠ |y| - 3p

c) A(m,n) · A(−m,n) =

⎛m+3n    4n ⎞ ⎛−m+3n     4n ⎞
⎝ −2n   m−3n⎠ ⎝ −2n    −m−3n⎠
= ⎛n²−m²    0   ⎞
  ⎝  0     n²−m²⎠, pentru orice numere întregi m și n - 3p
⎛n²−m²    0   ⎞   ⎛1  0⎞
⎝  0     n²−m²⎠ = ⎝0  1⎠ ⇔ n²−m² = 1 ⇔ (n−m)(n+m) = 1 și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile (0,1) sau (0,−1) - 2p

1.a)

A(6) = ⎛ 5  1⎞ ⇒ det(A(6)) = │ 5  1│ = 5·1 − (−5)·1 = - 3p
       ⎝−5  1⎠               │−5  1│

= 5 + 5 = 10 - 2p

b)

A(3) = ⎛ 2   1⎞ ⇒ A(3)·A(3) = ⎛2  0⎞ = 2I₂
       ⎝−2  −2⎠                ⎝0  2⎠ - 3p

2I₂ = aI₂, de unde obținem a = 2 - 2p

c) A(m)·A(2) − A(m−1) =

⎛m−1    1 ⎞⎛ 1   1⎞ − ⎛m−2    1 ⎞ = ⎛ 0     m−5 ⎞,
⎝1−m   m−5⎠⎝−1  −3⎠   ⎝2−m   m−6⎠   ⎝4−m   22−5m⎠

de unde obținem N = (m−4)(m−5), pentru orice număr întreg m - 3p Cum m−4 și m−5 sunt numere întregi și (m−4)(m−5) ≥ 0, obținem că numărul N este natural, pentru orice număr întreg m - 2p

A(1) = ⎛ 1   1 ⎞
       ⎝ −1  0 ⎠

⇒ det(A(1)) = | 1 1 | | −1 0 | = 1·0 − 1·(−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

A(a+b) − A(a)·A(b) =

⎛ 1      a+b   ⎞   ⎛ 1−ab       b+a−ab          ⎞
⎝ −a−b   1−a−b ⎠ − ⎝ −a−b+ab   −ab+1−a−b+ab ⎠ = - 3p
= ⎛ ab   ab ⎞
  ⎝ −ab  0  ⎠ = abA(1), pentru orice numere reale a și b - 2p

A(2a) − A(a)·A(a) = a²A(1), A(2a) − A(1)·A(2a−1) = (2a−1)A(1), 2A(2a) − A(a)·A(a) − A(1)·A(2a−1) = (a²+2a−1)A(1), pentru orice număr real a - 2p (a²+2a−1)A(1) = 2A(1), de unde obținem a²+2a−1 = 2, deci a = −3 sau a = 1 - 3p

det A = |0 −1; 2 4| = 0·4 − (−1)·2 = - 3p = 0 + 2 = 2 - 2p

M(2) = ⎛ 2  1⎞
       ⎝−2  0⎠,
M(2)·A = ⎛2  2⎞ = 2⎛1  1⎞ = 2M(1)
         ⎝0  2⎠    ⎝0  1⎠ - 3p

2M(1) = xM(1), de unde obținem x = 2 - 2p

M(a) − 2I₂ = ⎛ a − 2    1⎞
             ⎝2 − 2a   −a⎠,
(M(a) − 2I₂)·M(a) = ⎛a² − 4a + 2       0     ⎞
                     ⎝     0       a² − 4a + 2⎠,

pentru orice număr real a - 3p

⎛a² − 4a + 2       0     ⎞ = ⎛a + 2    0  ⎞
⎝     0       a² − 4a + 2⎠   ⎝  0    a + 2⎠,

de unde obținem a = 0 sau a = 5 - 2p

1.a)

A(1) = ⎛  2   −1 ⎞
       ⎝ −2    3 ⎠
⇒ det(A(1)) = │ 2  −1 │ = 2·3 − (−1)·(−2) =
              │−2   3 │

- 3p = 6 − 2 = 4 - 2p

b)

A(−1) = ⎛ 0   1 ⎞,
        ⎝ 2  −1 ⎠
A(−1)·A(x) = ⎛  −2x      2x + 1 ⎞ =
             ⎝ 4x + 2   −4x − 1 ⎠

- 3p

= ⎛ (−2x − 1) + 1      −(−2x − 1)    ⎞ = A(−2x − 1), pentru orice număr real x
  ⎝ −2(−2x − 1)       2(−2x − 1) + 1 ⎠

- 2p

c) A(−1)·(A(m) + A(n)) = A(−2m − 1) + A(−2n − 1) = 2A(−m − n − 1), pentru orice numere reale m și n - 3p 2A(−m − n − 1) = 2A(−4), de unde obținem m + n = 3 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, perechile sunt (0, 3) și (1, 2) - 2p

1. a)

A(6) = ⎛ 6    −12 ⎞
       ⎝ 1      0 ⎠
⇒ det(A(6)) = │ 6    −12 │
              │ 1      0 │ = 6 · 0 − (−12) · 1 = - 3p

= 0 + 12 = 12 - 2p

b)

A(4) = ⎛ 4    −8 ⎞
       ⎝ 1    −2 ⎠,
A(4) · A(4) = ⎛ 8    −16 ⎞
              ⎝ 2     −4 ⎠ = 2A(4) - 3p

aA(4) = 2A(4), de unde obținem a = 2 - 2p

c)

A(m) + A(n) = ⎛ m+n    −2m−2n ⎞
              ⎝  2     m+n−12 ⎠

⇒ det(A(m) + A(n)) = (m+n)(m+n−8), pentru orice numere naturale nenule m și n - 2p (m+n)(m+n−8) = 0 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m < n, obținem perechile (1,7), (2,6) și (3,5) - 3p

SUBIECTUL al II-lea, 1. a)

A(0) = ⎡0  −3⎤
       ⎣1  −2⎦

⇒ det(A(0)) = |0 −3; 1 −2| = 0 · (−2) − (−3) · 1 = - 3p = 0 + 3 = 3 - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 1. b)

A(2) = ⎡ 2  3⎤
       ⎣−1  4⎦,
A(5) = ⎡ 5  12⎤
       ⎣−4  13⎦,
A(2) · A(0) + A(5) = ⎡3  −12⎤ + ⎡ 5  12⎤ = ⎡8  0⎤ = 8I₂
                     ⎣4   −5⎦   ⎣−4  13⎦   ⎣0  8⎦ - 3p

8I₂ = mI₂, de unde obținem m = 8 - 2p

SUBIECTUL al II-lea, 1. c)

A(1 − x) = ⎡1 − x    −3x ⎤
           ⎣  x     1 − 3x⎦,
A(x) − A(0) · A(1 − x) = ⎡4x  −6x⎤
                         ⎣2x    0⎦,

de unde obținem det(A(x) − A(0) · A(1 − x)) = 12x², pentru orice număr real x - 3p 12x² = 3, de unde obținem x = −1/2 sau x = 1/2 - 2p

1.a)

B(5) = ⎛3  3⎞
       ⎝1  5⎠
⇒ det(B(5)) = │3  3│
              │1  5│ = 3·5−3·1= - 3p

=15−3=12 - 2p

b)

B(4)−B(2) = ⎛2  2⎞ − ⎛ 0  0⎞ = ⎛2  2⎞
            ⎝0  4⎠   ⎝−2  2⎠   ⎝2  2⎠,
(B(4)−B(2))·A = ⎛4  12⎞ = 4A - 3p
                ⎝4  12⎠

4A=aA, de unde obținem a=4 - 2p

c)

A·B(x) = ⎛4x−14  4x−2⎞
         ⎝4x−14  4x−2⎠,
A·B(x)−4xI₂ = ⎛  −14  4x−2⎞
              ⎝4x−14    −2⎠,

de unde obținem det(A·B(x)−4xI₂)=−16x(x−4), pentru orice număr real x - 3p −16x(x−4)=0, de unde obținem x=0 sau x=4 - 2p

Reguli generale:

1. a)

A(1) = ⎛ 1   1    2 ⎞
       ⎜ 1   1   −1 ⎟
       ⎝ 2  −1    4 ⎠

⇒ det(A(1)) = | 1 1 2 | | 1 1 −1 | | 2 −1 4 | = - 2p = 4 − 2 − 2 − 4 − 1 − 4 = −9 - 3p

Reguli generale:

1. b) det(A(a)) = | a 1 a+1 | | 1 a −1 | | 2 −a 4 | = −3a − 6, pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −2; sistemul de ecuații are soluție unică ⇔ a ∈ ℝ \ {−2} - 3p

Reguli generale:

1. c) Adunând ultimele două ecuații ale sistemului, obținem x₀ + z₀ = 0 - 2p y₀ + z₀ = a, ay₀ − 2z₀ = 4, deci (a + 2)(y₀ − 2) = 0 și, cum a ∈ ℝ \ {−2}, obținem y₀ = 2, deci x₀ + y₀ + z₀ = 2 - 3p

det(A(1)) =

│2  −1  1│
│0   1  0│
│1  −1  2│

= 2·1·2 + (−1)·0·1 + 0·(−1)·1 − 1·1·1 − (−1)·0·2 − 0·(−1)·2 = - 3p = 4 + 0 + 0 − 1 − 0 − 0 = 3 - 2p

A(0) =

⎛1  −1  1⎞
⎜0   0  0⎟
⎝1  −1  1⎠,

A(0)·A(x) =

⎛x+2  −x−2  x+2⎞
⎜ 0     0     0 ⎟
⎝x+2  −x−2  x+2⎠,

pentru orice număr real x - 3p x = −1 - 2p

(A(1))⁻¹ = aA(1) + bI₃ ⇔ aA(1)·A(1) + bA(1) = I₃ și A(1)·A(1) =

⎛5  −4  4⎞
⎜0   1  0⎟
⎝4  −4  5⎠,

de unde obținem

⎛5a+2b  −4a−b   4a+b ⎞
⎜  0      a+b     0   ⎟
⎝ 4a+b  −4a−b  5a+2b⎠

=

⎛1  0  0⎞
⎜0  1  0⎟
⎝0  0  1⎠ - 3p

a = −1/3 și b = 4/3 - 2p

1. a)

A(−1) = ⎛  1  1 ⎞
        ⎝ −2  1 ⎠
⇒ det(A(−1)) = │  1  1 │
               │ −2  1 │ = - 2p

= 1·1 − 1·(−2) = 3 - 3p

1. b)

det(A(x)) = │ x²     1 │
            │ x − 1  1 │ = x² − x + 1, pentru orice număr real x - 3p

Cum det(A(x)) ≠ 0 pentru orice număr real x, obținem că matricea A(x) este inversabilă pentru orice număr real x - 2p

1. c)

A(1) = ⎛ 1  1 ⎞
       ⎝ 0  1 ⎠
⇒ (A(1))⁻¹ = ⎛ 1  −1 ⎞
             ⎝ 0   1 ⎠ - 2p
Cum A(2) = ⎛ 4  1 ⎞
           ⎝ 1  1 ⎠

și X = (A(1))⁻¹·A(2)·(A(1))⁻¹, obținem

X = ⎛ 3  −3 ⎞
    ⎝ 1   0 ⎠ - 3p

det A = |0 1; −1 0| = 0·0 − 1·(−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

B(3)·B(5) = (3I₂ + iA)(5I₂ + iA) = 15I₂ + 8iA + i²A·A = 16I₂ + 8iA = - 3p = 8(2I₂ + iA) = 8B(2), deci x = 2 - 2p

B(m) + iB(n) = ⎛m + in    i − 1⎞
                 ⎝−i + 1   m + in⎠

⇒ det(B(m) + iB(n)) = (m + in)² − 2i, unde m, n ∈ ℤ - 2p B(m) + iB(n) nu este inversabilă, deci det(B(m) + iB(n)) = 0 ⇒ m² − n² + 2(mn − 1)i = 0 și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile (−1, −1) și (1, 1) - 3p

Reguli generale:

1. a)

A(2) = ⎛ 3   4 ⎞
       ⎝ −1 −1 ⎠
⇒ det(A(2)) = │ 3   4 │
              │ −1 −1 │

= 3·(−1) − (−1)·4 = - 3p = −3 + 4 = 1 - 2p

Reguli generale:

b) A(a)·A(b) =

⎛ 2a − 1   4a − 4 ⎞ ⎛ 2b − 1   4b − 4 ⎞
⎝ 1 − a    3 − 2a ⎠ ⎝ 1 − b    3 − 2b ⎠
= ⎛ 2a + 2b − 3   4a + 4b − 8 ⎞
  ⎝ −a − b + 2    −2a − 2b + 5 ⎠ = - 3p
= ⎛ 2(a + b − 1) − 1   4(a + b − 1) − 4 ⎞
  ⎝ 1 − (a + b − 1)    3 − 2(a + b − 1) ⎠

= A(a + b − 1), pentru orice numere reale a și b - 2p

Reguli generale:

c) A(1)·A(2)·A(2²)·A(2³)·A(2⁴) = A(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ − 4) = A(27) - 3p A(27) = A(32 + (−n) − 1), de unde obținem n = 4 - 2p

1. a)

det(A(x)) = │1 + 2x   0   −4x│
            │   0     a     0│
            │   x     0  1 − 2x│

= a(1 + 2x)(1 − 2x) + 4ax² = - 3p = a(1 − 4x²) + 4ax² = a, pentru orice număr real x - 2p

b)

A(x)·A(y) = ⎡1 + 2(x + y)   0   −4(x + y)⎤
            ⎢      0        a²       0⎥
            ⎣    x + y      0   1 − 2(x + y)⎦,
A(x + y) = ⎡1 + 2(x + y)   0   −4(x + y)⎤
           ⎢      0        a        0⎥
           ⎣    x + y      0   1 − 2(x + y)⎦,

pentru orice numere reale x și y - 3p A(x)·A(y) = A(x + y) ⇒ a² = a și, cum a un număr real nenul, obținem a = 1 - 2p

c) A(−2)·A(2) = A(0) = I₃, deci A(−2) este inversa matricei A(2) - 2p X = A(−2)·A(3) ⇒ X = A(1) ⇒

X = ⎡3   0   −4⎤
    ⎢0   1    0⎥
    ⎣1   0   −1⎦ - 3p

1.a)

A(0) = ⎛  2    3 ⎞
       ⎝ −1   −2 ⎠

⇒ det(A(0)) = | 2 3 | | −1 −2 | = 2·(−2) − (−1)·3 = - 3p = −4 + 3 = −1 - 2p

b) det(A(x)) = | x + 2 3 | | −1 x − 2 | = x² − 1, pentru orice număr real x - 2p Matricea A(x) este inversabilă ⇔ det(A(x)) ≠ 0, deci x ∈ ℝ ∖ {−1,1} - 3p

c) A(a)·A(b) = A(c) ⇔

⎛ ab + 2a + 2b + 1       3a + 3b          ⎞   ⎛ c + 2     3     ⎞
⎝      −a − b          ab − 2a − 2b + 1   ⎠ = ⎝  −1      c − 2  ⎠

⇔ a + b = 1 și c = ab + 1 - 3p a² + b² + 2c = a² + b² + 2ab + 2 = (a + b)² + 2 = 1 + 2 = 3 - 2p