Subiectul al III-lea, 1., toate variantele

1. a) f′(x) = ((eˣ + 2)(x + 1) − (eˣ + 2x + 1)·1)/(x + 1)² = - 3p = (xeˣ + eˣ + 2x + 2 − eˣ − 2x − 1)/(x + 1)² = (xeˣ + 1)/(x + 1)², x ∈ (−1, +∞) - 2p

1. b) f(0) = 2, f′(0) = 1 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = x + 2 - 3p

1. c) Considerând g : [−1, +∞) → ℝ, g(x) = xeˣ + 1, obținem g′(x) = (x + 1)eˣ ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1, +∞), deci g este crescătoare și, cum g(−1) = 1 − 1/e > 0, rezultă că g(x) > 0, pentru orice x ∈ (−1, +∞) - 3p Cum (x + 1)² > 0, pentru orice x ∈ (−1, +∞), obținem că f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (−1, +∞), deci f este strict crescătoare - 2p

f′(x) = ((3x² − 4)(x² + 5) − (x³ − 4x)·2x)/(x² + 5)² = - 3p = (x⁴ + 19x² − 20)/(x² + 5)² = ((x² − 1)(x² + 20))/(x² + 5)², x ∈ ℝ - 2p

lim_{x→+∞}(f(x) − x) = - 2p = lim_{x→+∞}(−9x)/(x² + 5) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

f′(x) = 0 ⇒ x = −1 sau x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, −1), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (−∞, −1), pentru orice x ∈ (−1, 1), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (−1, 1) și, pentru orice x ∈ (1, +∞), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (1, +∞) - 2p lim_{x→−∞} f(x) = −∞, f(−1) = 1/2, f(1) = −1/2, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, de unde obținem că ecuația f(x) = m are exact trei soluții dacă și numai dacă m ∈ (−1/2, 1/2) - 3p

III.1.a) f′(x) = ((2+1/x)·x−(2x−2+ln x))/x² = - 3p = (2x+1−2x+2−ln x)/x² = (3−ln x)/x², x ∈ (0,+∞) - 2p

III.1.b) lim[x→1] f(x)/ln x = lim[x→1] (2x−2+ln x)/(x ln x) = lim[x→1] (2x−2+ln x)′/(x ln x)′ = - 3p = lim[x→1] (2+1/x)/(ln x+1) = 3 - 2p

III.1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = e³; pentru orice x ∈ (0,e³], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0,e³] și, pentru orice x ∈ [e³,+∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [e³,+∞) - 2p lim[x→0] f(x) = −∞, f(e³) = 2+1/e³ ∈ (2,3) și f este continuă, deci cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție este 2 - 3p

f′(x) = 2+((x+2)/x)·((x+2−x)/(x+2)²) = 2+2/(x(x+2)) = - 3p = (2x²+4x+2)/(x(x+2)) = 2(x+1)²/(x(x+2)), x ∈ (0,+∞) - 2p

lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} (2+(1/x)ln(x/(x+2))) = 2 - 2p lim_{x→+∞} (f(x)−2x) = lim_{x→+∞} ln(x/(x+2)) = 0, deci dreapta de ecuație y = 2x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

Pentru orice x ∈ (0,+∞), f′(x) > 0 ⇒ f este strict crescătoare, deci f este injectivă - 2p lim_{x→0} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p

f′(x)=[2x√(x²+1)−(x²+6)·(2x/(2√(x²+1)))]/(x²+1)= - 3p =(2x³+2x−x³−6x)/((x²+1)√(x²+1))=x(x²−4)/((x²+1)√(x²+1)), x∈ℝ - 2p

f(0)=6, f′(0)=0 - 2p Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0), adică y=6 - 3p

Pentru orice x∈[0,2], f′(x)≤0, deci f este descrescătoare pe [0,2] și, pentru orice x∈[2,+∞), f′(x)≥0, deci f este crescătoare pe [2,+∞) - 2p x∈[0,1] ⇒ 7x∈[0,7], f(0)=6, f(1)=7/√2, f(7)=11/√2, de unde obținem 7/√2≤f(x) și f(7x)≤11/√2, deci f(7x)−f(x)≤2√2, pentru orice x∈[0,1] - 3p

1.a) f′(x) = [12x²(x−1)² − 4x³·2(x−1)]/(x−1)⁴ = - 3p = (12x³ − 12x² − 8x³)/(x−1)³ = 4x²(x−3)/(x−1)³, x ∈ (1, +∞) - 2p

b) lim (x → +∞) f(x)/x = lim (x → +∞) 4x²/(x−1)² = 4 - 2p lim (x → +∞) (f(x)−4x) = lim (x → +∞) (8x²−4x)/(x−1)² = 8, deci dreapta de ecuație y = 4x+8 este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

c) f′(x) = 0 ⇒ x = 3; f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (1, 3), deci f este strict descrescătoare pe (1, 3) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (3, +∞), deci f este strict crescătoare pe (3, +∞) - 2p lim (x → 1) f(x) = +∞, f(3) = 27, lim (x → +∞) f(x) = +∞ și f este continuă, deci ecuația f(x) = m are exact două soluții pentru orice m ∈ (27, +∞) - 3p

f′(x) = eˣ(2x − 4) + 2eˣ + 2x − 2 = - 3p = eˣ(2x − 2) + 2x − 2 = 2(x − 1)(eˣ + 1), x ∈ ℝ - 2p

Cum lim_{x→0} f(x) = 0, rezultă lim_{x→0} f(x)/(1 − eˣ) = lim_{x→0} f′(x)/(1 − eˣ)′ = - 3p = lim_{x→0} [2(x − 1)(eˣ + 1)/(−eˣ)] = 4 - 2p

f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, 1), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (−∞, 1) și, pentru orice x ∈ (1, +∞), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (1, +∞) - 2p lim_{x→−∞} f(x) = +∞, f(1) = 3 − 2e < 0, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, deci ecuația f(x) = 0 are exact două soluții - 3p

1. a) f′(x) = (x² − 2)′e^(2x) + (x² − 2)(e^(2x))′ = - 2p = 2xe^(2x) + (x² − 2) · 2e^(2x) = 2e^(2x)(x² + x − 2), x ∈ ℝ - 3p

1. b) lim_(x→+∞) f(x)/f′(x) = lim_(x→+∞) (x² − 2)/(2(x² + x − 2)) = lim_(x→+∞) [x²(1 − 2/x²)]/[2x²(1 + 1/x − 2/x²)] = - 3p = lim_(x→+∞) (1 − 2/x²)/[2(1 + 1/x − 2/x²)] = 1/2 - 2p

1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, −2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −2]; pentru orice x ∈ [−2, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−2, 1] și pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 3p Cum lim_(x→−∞) f(x) = 0, lim_(x→+∞) f(x) = +∞, f(1) = −e² și f este continuă, imaginea funcției f este [−e², +∞) - 2p

1. a) f′(x) = 1/5 − (2x + 1)/(x² + x + 5) = - 3p = (x² + x + 5 − 10x − 5)/(5(x² + x + 5)) = (x² − 9x)/(5(x² + x + 5)), x ∈ ℝ - 2p

1. b) Tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate (a, f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0 - 3p a² − 9a = 0, de unde obținem a = 0 sau a = 9 - 2p

1. c) f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (−∞, 0] ⇒ f este crescătoare pe (−∞, 0]; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [0, 9] ⇒ f este descrescătoare pe [0, 9], deci f(x) ≤ f(0), pentru orice x ∈ (−∞, 9] - 2p f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (9, +∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (9, +∞) și, cum f(0) = −ln 5 < 0, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, obținem că ecuația f(x) = 0 are soluție unică - 3p

1. a) f′(x) = 1 + 3(ln(x + 3) − ln(x − 1))′ = 1 + 3/(x + 3) − 3/(x − 1) = - 3p = (x² + 2x − 3 + 3x − 3 − 3x − 9)/((x + 3)(x − 1)) = (x² + 2x − 15)/((x + 3)(x − 1)), x ∈ (1,+∞) - 2p

1. b) lim(x→+∞) f(x)/x = lim(x→+∞) (1 + (3/x)ln((x + 3)/(x − 1))) = 1 - 2p lim(x→+∞) (f(x) − x) = lim(x→+∞) (3ln((x + 3)/(x − 1))) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

1. c) f′(x) = 0 ⇒ x = 3; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (1,3] ⇒ f este descrescătoare pe (1,3] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [3,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [3,+∞), deci f(x) ≥ f(3), pentru orice x ∈ (1,+∞) - 3p f(3) = 3 + 3ln3, deci x + 3ln((x + 3)/(x − 1)) ≥ 3 + 3ln3, pentru orice x ∈ (1,+∞), de unde obținem ln((x + 3)/(3(x − 1))) ≥ 1 − x/3, pentru orice x ∈ (1,+∞) - 2p

1.a) f′(x) = [3eˣ(x² + x + 1) − 3eˣ(2x + 1)]/(x² + x + 1)² = - 3p = 3eˣ(x² + x + 1 − 2x − 1)/(x² + x + 1)² = 3eˣ(x² − x)/(x² + x + 1)², x ∈ ℝ - 2p

1.b) lim_{x→+∞} [f(2x)/f(x)] = lim_{x→+∞} [3e²ˣ/(4x² + 2x + 1) · (x² + x + 1)/(3eˣ)] = - 2p = lim_{x→+∞} [eˣ · (x² + x + 1)/(4x² + 2x + 1)] = lim_{x→+∞} [eˣ · (1 + 1/x + 1/x²)/(4 + 2/x + 1/x²)] = +∞ - 3p

1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, 0), f′(x) > 0 ⇒ f este strict crescătoare pe (−∞, 0); pentru orice x ∈ (0, 1), f′(x) < 0 ⇒ f este strict descrescătoare pe (0, 1); pentru orice x ∈ (1, +∞), f′(x) > 0 ⇒ f este strict crescătoare pe (1, +∞) - 2p lim_{x→−∞} f(x) = 0, f(0) = 3, f(1) = e, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și, cum f este continuă, obținem că ecuația f(x) = m are exact trei soluții, pentru orice m ∈ (e, 3) - 3p

1. a) f′(x) = (2x − 5)√x + (x² − 5x + 10)·1/(2√x) = - 3p = (5x² − 15x + 10)/(2√x) = 5(x² − 3x + 2)/(2√x), x ∈ (0, +∞) - 2p

1. b) f′(x) = 0 ⇔ x = 1 sau x = 2 - 2p f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (0, 1], deci f este crescătoare pe (0, 1], f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, 2], deci f este descrescătoare pe [1, 2] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [2, +∞), deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 3p

1. c) lim_{x→+∞} (f(x)/(x²√x))^(x/5) = lim_{x→+∞} ((x² − 5x + 10)/x²)^(x/5) = lim_{x→+∞} ((1 + (−5x + 10)/x²)^(x²/(−5x + 10)))^(((−5x + 10)/x²)·(x/5)) = - 3p = lim_{x→+∞} e^((−5x + 10)/(5x)) = e⁻¹ = 1/e - 2p

f′(x) = (eˣ − x − x(eˣ − 1))/(eˣ − x)² = - 3p = (eˣ − xeˣ)/(eˣ − x)² = eˣ(1 − x)/(eˣ − x)², x ∈ ℝ - 2p

f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, 1], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe (−∞, 1] - 3p Pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 2p

lim_{x→−∞} f(x) = 1, f(1) = 2 + 1/(e − 1), lim_{x→+∞} f(x) = 2 - 3p Cum f este continuă, f este strict crescătoare pe (−∞, 1) și f este strict descrescătoare pe (1, +∞), obținem că, pentru orice m ∈ (1, 2], ecuația f(x) = m are soluție unică - 2p

1. a) f′(x)=((2x−3)eˣ−(x²−3x+1)eˣ)/(eˣ)²= - 3p =(−x²+5x−4)/eˣ=(x−1)(4−x)/eˣ, x∈ℝ - 2p

1. b) lim(x→+∞) f(x)=lim(x→+∞) (x²−3x+1)/eˣ=lim(x→+∞) (2x−3)/eˣ=lim(x→+∞) 2/eˣ=0 - 3p Dreapta de ecuație y=0, adică axa Ox, este asimptota orizontală spre +∞ la graficul lui f - 2p

1. c) f′(x)=0 ⇔ x=1 sau x=4; pentru orice x∈(−∞,1), f′(x)<0 ⇒ f este strict descrescătoare pe (−∞,1), pentru orice x∈(1,4), f′(x)>0 ⇒ f este strict crescătoare pe (1,4) și pentru orice x∈(4,+∞), f′(x)<0 ⇒ f este strict descrescătoare pe (4,+∞) - 3p Cum lim(x→−∞) f(x)=+∞, f(4)=5/e⁴<1 și funcția f este continuă, obținem că ecuația f(x)=n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n - 2p

1.a) f′(x) = 2x · (x² − 4) + (x² − 9) · 2x = - 3p = 2x(x² − 4 + x² − 9) = 2x(2x² − 13), x ∈ ℝ - 2p

b) lim_{x→3} [sin(x − 3)/(f(x) − 3)] = lim_{x→3} [sin(x − 3)/((x² − 9)(x² − 4))] = lim_{x→3} ([sin(x − 3)/(x − 3)] · [1/((x + 3)(x² − 4))]) = - 2p = 1 · [1/((3 + 3)(3² − 4))] = 1/30 - 3p

c) f′(x) = 0 ⇔ x = −√(13/2), x = 0 sau x = √(13/2); f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (−∞, −√(13/2)) ∪ (0, √(13/2)) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (−√(13/2), 0) ∪ (√(13/2), +∞) - 3p lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f(−√(13/2)) = f(√(13/2)) = −13/4, f(0) = 39, f continuă pe ℝ, f strict descrescătoare pe (−∞, −√(13/2)) și pe (0, √(13/2)) și f strict crescătoare pe (−√(13/2), 0) și pe (√(13/2), +∞), deci ecuația f(x) = m are exact patru soluții reale ⇔ m ∈ (−13/4, 39) - 2p

f′(x)=1−2x/(2√(x²+3))= - 3p =1−x/√(x²+3)=(√(x²+3)−x)/√(x²+3), x∈ℝ - 2p

lim_{x→+∞} f(x)=lim_{x→+∞}(x−√(x²+3))=lim_{x→+∞}((x²−(x²+3))/(x+√(x²+3)))=lim_{x→+∞}(−3/(x+√(x²+3)))=0 - 3p Dreapta de ecuație y=0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

f′(x)>0, pentru orice număr real x, deci f este strict crescătoare - 2p Cum lim_{x→−∞} f(x)=−∞, lim_{x→+∞} f(x)=0 și f este funcție continuă, ecuația f(x)=a are soluție ⇔ a∈(−∞,0) - 3p

1.a) f′(x) = 4x³ − 4/x = (4x⁴ − 4)/x = - 3p = 4(x⁴ − 1)/x = 4(x² + 1)(x + 1)(x − 1)/x, x ∈ (0,+∞) - 2p

b) f′(x) = 0 ⇔ x = 1 - 2p f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0,1], deci f este descrescătoare pe (0,1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1,+∞), deci f este crescătoare pe [1,+∞) - 3p

c) lim_{x→0} f(x) = +∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ - 2p Cum f(1) = −1, f este continuă, f este strict descrescătoare pe (0,1) și f este strict crescătoare pe (1,+∞), obținem că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul (0,+∞) - 3p

1.a) f′(x) = 1 + (2 ln x)/x − ln x − 1 = - 3p = (2 ln x − x ln x)/x = ((2 − x) ln x)/x, x ∈ (0,+∞) - 2p

b) Tangenta la graficul funcției f în punctul A(a,f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0, a ∈ (0,+∞) - 2p ((2 − a) ln a)/a = 0, de unde obținem a = 1 sau a = 2, care convin - 3p

c) Pentru orice x ∈ (0,1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0,1], pentru orice x ∈ [1,2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,2] și, pentru orice x ∈ (2,+∞), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (2,+∞) - 2p Cum f(1) = 1, lim_{x→+∞} f(x) = −∞ și f este continuă, obținem că ecuația f(x) = 0 are soluție unică - 3p

f′(x) = (e^(x−2)√(x−1) − e^(x−2)·1/(2√(x−1)))/(x−1) = - 3p = e^(x−2)(2(x−1)−1)/(2(x−1)√(x−1)) = e^(x−2)(2x−3)/(2(x−1)√(x−1)), x ∈ (1,+∞) - 2p

lim(x→2) (f(x))^(1/(x−2)) = lim(x→2) (1+f(x)−1)^(1/(x−2)) = lim(x→2) ((1+f(x)−1)^(1/(f(x)−1)))^((f(x)−1)/(x−2)) = - 3p = e^(lim(x→2) ((f(x)−1)/(x−2))) = e^(f′(2)) = e^(1/2) = √e - 2p

Considerând g : (1,+∞) → ℝ, g(x) = f(x)/x, obținem g′(x) = (xf′(x)−f(x))/x², deci g′(x) = e^(x−2)(2x²−5x+2)/(2x²(x−1)√(x−1)), x ∈ (1,+∞); g′(x) = 0 ⇒ x = 2; pentru orice x ∈ (1,2), g′(x) < 0, deci g este strict descrescătoare pe (1,2) și, pentru orice x ∈ (2,+∞), g′(x) > 0, deci g este strict crescătoare pe (2,+∞) - 3p Cum lim(x→1) g(x) = +∞, g(2) = 1/2, lim(x→+∞) g(x) = +∞ și g este continuă, obținem că ecuația g(x) = m, deci ecuația f(x) = mx, are exact două soluții dacă și numai dacă m ∈ (1/2,+∞) - 2p

f′(x) = 4x/√(2x²+1)−3·4x/(2x²+1) = - 3p = (4x√(2x²+1)−12x)/(2x²+1) = 4x(√(2x²+1)−3)/(2x²+1), x ∈ ℝ - 2p

f(0) = 2, f′(0) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y−f(0) = f′(0)(x−0), adică y = 2 - 3p

f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 0 sau x = 2; pentru orice x ∈ (−∞,−2), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (−∞,−2); pentru orice x ∈ [−2,0], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−2,0]; pentru orice x ∈ [0,2], f′(x) ≤ 0, deci f descrescătoare pe [0,2]; pentru orice x ∈ (2,+∞), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (2,+∞) - 2p Cum lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f(0) = 2 și f este continuă, obținem că ecuația f(x) = m are exact două soluții pentru orice m ∈ (2,+∞) - 3p

1. a) f′(x) = ((1/x)·x³ − 3x² ln x)/x⁶ = - 3p = (x² − 3x² ln x)/x⁶ = (1 − 3 ln x)/x⁴, x ∈ (0,+∞) - 2p

1. b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} (ln x)/x³ = lim_{x→+∞} (1/x)/(3x²) = 0 - 3p Dreapta de ecuație y = 0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

1. c) f′(x) = 0 ⇒ x = ∛e; pentru orice x ∈ (0,∛e], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0,∛e] și, pentru orice x ∈ [∛e,+∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [∛e,+∞) - 2p lim_{x→0} f(x) = −∞, f(∛e) = 1/(3e) și f este continuă, deci mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție este (−∞,1/(3e)] - 3p

1. a) f′(x) = (2(x + 2) − (2x − 2))/(x + 2)² + (x/(x + 2)) · (x − (x + 2))/x² = - 3p = 6/(x + 2)² − 2/(x(x + 2)) = 4(x − 1)/(x(x + 2)²), x ∈ (0, +∞) - 2p

1. b) lim_{x→+∞} f(x) = lim_{x→+∞} ((2x − 2)/(x + 2) + ln((x + 2)/x)) = 2 + 0 = 2 - 3p Dreapta de ecuație y = 2 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p lim_{x→0} f(x) = +∞, f(1) = ln 3, f este continuă și, cum 1 < ln 3 < 2, obținem n = 0 sau n = 1 - 3p

1. a) f′(x) = √(x² + 2) + (x − 5) · 2x/(2√(x² + 2)) = 3p = (x² + 2 + x² − 5x)/√(x² + 2) = (2x² − 5x + 2)/√(x² + 2), x ∈ ℝ 2p

1. b) f′(x) = 0 ⇔ x = 1/2 sau x = 2 2p Pentru orice x ∈ (−∞, 1/2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, 1/2], pentru orice x ∈ [1/2, 2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [1/2, 2] și, pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) 3p

1. c) limₓ→+∞ ((x² − 5x)/f(x))ˣ = limₓ→+∞ (1 − 2/(x² + 2))^(x/2) = limₓ→+∞ [(1 − 2/(x² + 2))^(−(x² + 2)/2)]^(−x/(x² + 2)) = 3p = e^(limₓ→+∞ (−x/(x² + 2))) = e⁰ = 1 2p

f′(x)=1−(−e⁻ˣ(x−1)−e⁻ˣ)/(x−1)²= - 3p =1+xe⁻ˣ/(x−1)²=((x−1)²+xe⁻ˣ)/(x−1)², x∈(1,+∞) - 2p

lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} (1−e⁻ˣ/(x(x−1)))=1 - 3p lim_{x→+∞} (f(x)−x) = lim_{x→+∞} (−e⁻ˣ/(x−1))=0, deci dreapta de ecuație y=x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 2p

f′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (1,+∞), deci f este injectivă - 2p lim_{x→+∞} f(x)=+∞, lim_{x→1} f(x)=−∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p

f′(x) = √(x² + 4) + (x + 6) · 2x/(2√(x² + 4)) = - 3p = (2x² + 6x + 4)/√(x² + 4) = 2(x² + 3x + 2)/√(x² + 4), x ∈ ℝ - 2p

f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = −1 - 2p f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (−∞,−2] ⇒ f este crescătoare pe (−∞,−2], f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [−2,−1] ⇒ f este descrescătoare pe [−2,−1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [−1,+∞) - 3p

lim_{x→−∞} f(x) = −∞, f(−2) = √128, f(−1) = √125, lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f este continuă și 11 < √125 < √128 < 12 - 3p Cum f este strict crescătoare pe (−∞,−2), f este descrescătoare pe [−2,−1] și f este strict crescătoare pe (−1,+∞), obținem că ecuația f(x) = m are soluție unică, pentru orice număr întreg m - 2p

1.a) f′(x) = −1−4x³ arctg x−(x⁴−1)·1/(x²+1) = - 3p = −1−4x³ arctg x−x²+1 = −x²(4x arctg x+1), x ∈ ℝ - 2p

b) Tangenta la graficul funcției f în punctul A(x₀, f(x₀)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(x₀) = 0 - 2p −x₀²(4x₀ arctg x₀+1) = 0 și, cum x₀ arctg x₀ ≥ 0 pentru orice x₀ ∈ ℝ, obținem x₀ = 0, deci ecuația tangentei la graficul funcției f care este paralelă cu axa Ox este y−f(0) = f′(0)(x−0), adică y = 1 - 3p

c) f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ ℝ, deci funcția f este descrescătoare pe ℝ și, cum f(0) = 1 și f(1) = 0, obținem 0 ≤ f(x) ≤ 1, pentru orice x ∈ [0, 1] - 2p Pentru g : [0, 1] → ℝ, g(x) = tg x−x, g′(x) = 1/cos²x−1 ≥ 0, pentru orice x ∈ [0, 1], deci g este crescătoare, de unde obținem tg x ≥ x, pentru orice x ∈ [0, 1], deci tg(f(x)) ≥ f(x) ≥ f(tg x), pentru orice x ∈ [0, 1] - 3p

1.a) f′(x) = 1 − [1/(eˣ + x²)]·(eˣ + 2x) = - 3p = (x² − 2x)/(eˣ + x²) = x(x − 2)/(eˣ + x²), x ∈ ℝ - 2p

b) Tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate (a, f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0 - 3p a(a − 2)/(eᵃ + a²) = 0 ⇔ a = 0 sau a = 2 - 2p

c) Pentru orice x ∈ (−∞, 0], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, 0]; pentru orice x ∈ [0, 2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [0, 2]; pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 2p Cum f este continuă, lim(x → −∞) f(x) = −∞, f(0) = −1 și lim(x → +∞) f(x) = −1, imaginea funcției f este (−∞, −1] - 3p

f′(x) = (x³ + 3x + 1)′e^(−x) + (x³ + 3x + 1)(e^(−x))′ = (3x² + 3)e^(−x) − (x³ + 3x + 1)e^(−x) = - 3p = (−x³ + 3x² − 3x + 2)e^(−x) = (2 − x)(x² − x + 1)e^(−x), x ∈ ℝ - 2p

lim_(x→+∞) ((f(x) − e^(−x))/(f(x) + e^(−x)))^(f(x)eˣ) = lim_(x→+∞) ((x³ + 3x)/(x³ + 3x + 2))^(x³ + 3x + 1) = lim_(x→+∞) ((1 + (−2)/(x³ + 3x + 2))^((x³ + 3x + 2)/(−2)))^((−2(x³ + 3x + 1))/(x³ + 3x + 2)) = - 3p = lim_(x→+∞) e^((−2(x³ + 3x + 1))/(x³ + 3x + 2)) = e^(−2) - 2p

g(x) = |x³ + 3x| = { −x³ − 3x, x ∈ (−∞, 0) { x³ + 3x, x ∈ [0, +∞) - 2p g este continuă și, cum pentru orice x ∈ (−∞, 0), g′(x) = −3x² − 3 < 0 ⇒ g este strict descrescătoare pe (−∞, 0) și pentru orice x ∈ (0, +∞), g′(x) = 3x² + 3 > 0 ⇒ g este strict crescătoare pe (0, +∞), obținem că funcția g are un singur punct de extrem - 3p

Reguli generale:

III.1.a) f′(x) = ((4x³/(2√(x⁴ + 16)))·x − √(x⁴ + 16))/x² = (2x⁴ − x⁴ − 16)/(x²√(x⁴ + 16)) = - 3p = (x⁴ − 16)/(x²√(x⁴ + 16)) = ((x² − 4)(x² + 4))/(x²√(x⁴ + 16)), x ∈ (0, +∞) - 2p

Reguli generale:

III.1.b) lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} √(x⁴ + 16)/x² = lim_{x→+∞} √(1 + 16/x⁴) = 1 - 2p lim_{x→+∞}(f(x) − x) = lim_{x→+∞}(√(x⁴ + 16) − x²)/x = lim_{x→+∞} 16/(x(√(x⁴ + 16) + x²)) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

Reguli generale:

III.1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = 2; f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (0, 2) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (2, +∞) - 2p g : (0, +∞) → ℝ, g(x) = f(x) + f(4/x) = 2f(x), deci g este strict descrescătoare pe (0, 2) și g este strict crescătoare pe (2, +∞) și, cum g este continuă, g(2) = 4√2, lim_{x→0} g(x) = +∞ și lim_{x→+∞} g(x) = +∞, obținem că ecuația g(x) = m are exact două soluții pentru m ∈ (4√2, +∞) - 3p

1.a) f′(x) = ((eˣ + xeˣ)(eˣ + 2) − xe²ˣ)/(eˣ + 2)² = - 3p = (e²ˣ + 2eˣ + 2xeˣ)/(eˣ + 2)² = eˣ(eˣ + 2x + 2)/(eˣ + 2)², x ∈ ℝ - 2p

b) lim(x→+∞) f(x)/x = lim(x→+∞) eˣ/(eˣ + 2) = 1 - 2p lim(x→+∞)(f(x) − x) = lim(x→+∞)(xeˣ − x(eˣ + 2))/(eˣ + 2) = lim(x→+∞)(−2x)/(eˣ + 2) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

c) g : ℝ → ℝ, g(x) = eˣ + 2x + 2 este strict crescătoare și, cum g este continuă, lim(x→−∞) g(x) = −∞ și lim(x→+∞) g(x) = +∞, există un unic număr real c, astfel încât g(c) = 0 - 3p f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (−∞, c) ⇒ f este strict descrescătoare pe (−∞, c) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (c, +∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (c, +∞) și, cum f este continuă, obținem că f are un unic punct de extrem - 2p

f′(x) = (2e²ˣ + 4x³)/(2√(e²ˣ + x⁴ + 2)) = - 3p = 2(e²ˣ + 2x³)/(2√(e²ˣ + x⁴ + 2)) = (e²ˣ + 2x³)/√(e²ˣ + x⁴ + 2), x ∈ ℝ - 2p

Panta tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f, este egală cu f′(0) = 1/√3 - 2p Cum dreapta de ecuație x − √3y = 0 are panta egală cu 1/√3, obținem că tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f este paralelă cu dreapta de ecuație x − √3y = 0 - 3p

g : ℝ → ℝ, g(x) = e²ˣ + 2x³ ⇒ g′(x) = 2e²ˣ + 6x² > 0, pentru orice x ∈ ℝ, deci funcția g este strict crescătoare pe ℝ și, cum limₓ→−∞ g(x) = −∞, limₓ→+∞ g(x) = +∞ și g este continuă, există un unic număr real c cu g(c) = 0 - 2p f este continuă pe ℝ și f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (−∞, c) ⇒ f este strict descrescătoare pe (−∞, c] și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (c, +∞) ⇒ f este strict crescătoare pe [c, +∞), deci f are un unic punct de extrem - 3p